Développement : Projection sur un convexe fermé

Détails/Enoncé :

Dans un espace de Hilbert $(H,<.,.>)$ , soit $C$ un convexe fermé.
Pour tout $x$ dans $H$, il existe un unique $y= P_C(x)$ tel que $||x-y||=inf_{\forall z \in C} ||x-z||$ .
Et $P_C(x)$ est caractérisé par la propriété suivante : $\forall z \in C ~ Re( < z-x , y-x > ) ~ \leq 0 $

Vous pouvez aller jusqu'à montrer le théorème de Riesz si vous avez envie ;)
Rmq : vous pouvez vous restreindre au cas réel mais la difficulté est la même ;)

Recasages pour l'année 2025 :

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    Recasages: 213, 219, 253

    Page 91

    J'y ai mis les preuves de la projection, la caractérisation par l'angle obtus, la caractérisation dans le cas d'un sev, la décomposition en somme orthogonale et Riesz (c'est trop long pour faire un dév, il faut sélectionner les preuves qu'on veut présenter).

    Rekasator alternatif (test exhaustif cherchant la plus petite quantité sans prendre en compte la qualité) + tableur pour le suivi des leçons: https://sites.google.com/view/ospoam/accueil
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    Ce qu'il y a dans le document prend laaargement 15 minutes donc il ne faut pas hésiter à en sauter une partie (typiquement, je ne pense pas passer trop de temps sur l'équivalence du théorème, si ce n'est aucun).

    Je le prends pour les leçons 205, 208, 213, 219 et 253.

    La preuve se trouve à la fin du Gourdon, il y a une partie consacrée aux espaces de Hilbert (aux alentours de la page 407 dans la 2nd édition et 427 dans la 3ème)
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    J'aime bien ce développement et la manière dont il est présenté dans le Gourdon. Il ouvre la porte à tout un tas d'applications, il faut connaître les grandes idées des preuves de celles-ci.

    Les références sont indiquées à la fin du plan. N'hésitez pas à me contacter pour me signaler toute erreur ou imprécision.
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    *Mes développements n’ont pas été pensés pour être partagés au départ, vous excuserez mon écriture et mes notations un peu brouillonnes. Soyez vigilants sur les coquilles/erreurs possibles et critiques sur ce que vous lisez. N’hésitez pas à me contacter pour des clarifications.

    *La plupart de mes dévs contiennent un plan et un rappel des énoncés, pour être au clair sur ce qu’on a à disposition et ce qu’on veut faire.

    *Les recasages inscrits sur le document sont les numéros de 2023/2024.
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    Mes documents sont longs, déjà parce que je parle vite (donc il faut beaucoup de contenus), que j'écris gros, et que j'aime bien comprendre dans les détails, mais aussi et surtout parce qu'il y a beaucoup de remarques/infos à la fin, pour essayer d'être capable de répondre au max de questions liées au dev !

    Evidemment, il est fort possible qu'il y ait des coquilles de ci de là, n'hésitez pas à me les signaler !

    (Bon courage !)
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Références utilisées dans les versions de ce développement :

Topologie et analyse, 3ème année, Skandalis (utilisée dans 7 versions au total)
Analyse fonctionnelle - Théorie et applications, Brezis, Haim (utilisée dans 29 versions au total)
Elements d'analyse fonctionnelle , Hirsch (utilisée dans 105 versions au total)
Analyse fonctionelle , Brézis (utilisée dans 35 versions au total)
Cours d'analyse fonctionnelle, Daniel Li (utilisée dans 54 versions au total)
Analyse , Gourdon (utilisée dans 596 versions au total)
Mathématiques Tout-en-un pour la Licence 2, Jean-Pierre Ramis, André Warusfel (utilisée dans 37 versions au total)