Développement : Projection sur un convexe fermé

Détails/Enoncé :

Dans un espace de Hilbert $(H,<.,.>)$ , soit $C$ un convexe fermé.
Pour tout $x$ dans $H$, il existe un unique $y= P_C(x)$ tel que $||x-y||=inf_{\forall z \in C} ||x-z||$ .
Et $P_C(x)$ est caractérisé par la propriété suivante : $\forall z \in C ~ Re( < z-x , y-x > ) ~ \leq 0 $

Vous pouvez aller jusqu'à montrer le théorème de Riesz si vous avez envie ;)
Rmq : vous pouvez vous restreindre au cas réel mais la difficulté est la même ;)

Recasages pour l'année 2024 :

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    Recasages: 213, 219, 253

    Page 91

    J'y ai mis les preuves de la projection, la caractérisation par l'angle obtus, la caractérisation dans le cas d'un sev, la décomposition en somme orthogonale et Riesz (c'est trop long pour faire un dév, il faut sélectionner les preuves qu'on veut présenter).

    Rekasator alternatif (test exhaustif cherchant la plus petite quantité sans prendre en compte la qualité) + tableur pour le suivi des leçons: https://sites.google.com/view/ospoam/accueil
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    Ce qu'il y a dans le document prend laaargement 15 minutes donc il ne faut pas hésiter à en sauter une partie (typiquement, je ne pense pas passer trop de temps sur l'équivalence du théorème, si ce n'est aucun).

    Je le prends pour les leçons 205, 208, 213, 219 et 253.

    La preuve se trouve à la fin du Gourdon, il y a une partie consacrée aux espaces de Hilbert (aux alentours de la page 407 dans la 2nd édition et 427 dans la 3ème)
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Références utilisées dans les versions de ce développement :

Topologie et analyse, 3ème année, Skandalis (utilisée dans 6 versions au total)
Analyse fonctionnelle - Théorie et applications, Brezis, Haim (utilisée dans 27 versions au total)
Elements d'analyse fonctionnelle , Hirsch (utilisée dans 62 versions au total)
Analyse fonctionelle , Brézis (utilisée dans 25 versions au total)
Cours d'analyse fonctionnelle, Daniel Li (utilisée dans 44 versions au total)
Analyse , Gourdon (utilisée dans 401 versions au total)