Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :
Plan :
I Matrices réelles symétriques, matrices hermitiennes
1 Définitions
2 Lien avec les endomorphismes auto-adjoints
3 Lien avec les formes quadratiques et hermitiennes
II Réduction
1 Théorème de réduction de Gauss (DEV1 : Lemme de Morse)
2 Théorème spectral (DEV2 : exp est un homéo)
J’ai structuré ma défense en disant qu’il y avait deux points de vue pour les matrices symétriques (ou hermitiennes) : l’un comme matrice d’endomorphismes auto-adjoints dans un espace euclidien (ou hermitien) dans une BON, et l’autre comme matrice d’une forme quadratique (ou hermitienne) dans une base quelconque. Ces deux points de vue nous donne chacun un théorème de réduction différent sur les matrices, et j’illustre chacun d’entre eux par un développement.
Déroulement du développement : J’ai suivi le Isenmann-Pécatte (pour les notations), et je n’ai pas démontré le fait que la norme triple 2 d’une matrice symétrique réelle était égal à son rayon spectral (c’était dans mon plan, et j’ai écrit l’énoncé complet pendant le développement). 2min avant la fin, un membre du jury me dit qu’il me reste 2min. J’ai fini avec 15 secondes d’avance.
Questions : Le jury a alterné questions sur le développement, sur le plan, et autres questions tout au long de l’oral. Ils intervenaient chacun leur tour. Il y a eu plusieurs moments de blanc où j’avais l’impression qu’ils ne savaient pas trop quoi me poser comme question.
Sur le développement :
Q1) Pourquoi exp(PAP^{-1}) = P exp(A) P^{-1}?
R1 : On utilise la formule qui définit l'exponentielle et on utilise la continuité (car linéarité) de la multiplication matricielle.
Q2) Vous utilisez un polynôme interpolateur de Lagrange. Pouvez-vous en donner une expression et donner une condition pour qu’ils soient bien définis ?
R2 : Il faut savoir que pendant le développement, j’avais bien écrit qu’on utilisait l’injectivité de l’exponentielle réelle pour pouvoir bien définir le polynôme interpolateur de Lagrange qu’on utilise, en disant à l’oral qu’ainsi on n’assignait pas des images différentes à un même antécédent.
Pour répondre à la question, je dis que si x_1, ..., x_n, y_1, ..., y_n sont réels, on cherche L tel que L(x_i)=y_i. Je donne l’expression de L comme somme de produits, en expliquant bien pourquoi les polynômes élémentaires valent 1 en x_i et 0 sur les autres, et je dis qu’on voit qu’il faut que les x_i soient 2 à 2 distincts.
Q2.5) Que se passe-t-il donc dans votre développement ?
R2.5 : Je redonne l’explication : il n’y a pas de problème car si e^{lambda_i} = e^{mu_j}, alors lambda_i=mu_j donc on n’assigne pas des images différentes à L (qui doit vérifier L(e^{lambda_i}) = lambda_i et L(e^{mu_i}) = mu_i) .
Q2.75) Si K est le corps à deux éléments et que je prends x_1, ..., x_5, peut-on avoir un polynôme interpolateur ?
R2.75 : non car ils ne peuvent alors pas être 2 à 2 distincts.
Q3) En général, si f : X -> Y est une application bijective continue entre espaces topologiques, est-elle un homéomorphisme ?
R3 : Non. Je cherche un contre-exemple. Je dis x3 sur R, puis je me reprends tout de suite en disant que la réciproque sera continue, mais on aura un problème de dérivabilité en 0 (a posteriori on ne peut pas trouver de contre-exemple dans R par théorème de bijection continue). Je cherche un peu.
Je dis si on prend une fonction de R dans R2 (immédiatement le jury dit oui), je fais le dessin d’une boucle et cela leur suffisait.
Q3.5) Que doit vérifier un homéomorphisme en terme d’ouverts ?
R3.5 : f^{-1}(O) est ouvert (c’est la continuité) et f(O) est ouvert. Là le membre du jury a commencé à me parler de boules - je n’ai pas trop compris ce qu’il voulait dire - j’ai dit que les boules engendraient les ouverts et il avait l’air content.
Q4) Avez-vous des applications de l’exponentielle matricielle ?
R4 : Systèmes différentiels linéaires ! Les solutions s’expriment avec l’exponentielle.
Q5) Pourquoi l’inverse matriciel est continu ? (J’ai oublié la formulation exacte mais ils voulaient une réponse courte.)
R5 : D’après la formule de la comatrice, elle a une expression polynômiale.
Q6) Vous dites que l’exponentielle matricielle est continue car la série est normalement convergente. Pouvez-vous préciser/expliquer ?
R6 : On pose f_k : M -> (M^k)/k!, qui est continue. On se place sur une boule fermée de M_n(R), de sorte que f_k y soit bornée. La série des normes infinies converge, en prenant une norme d’algèbre (pourquoi il faut une norme d’algèbre ? pour avoir ∥M^k∥ <= ∥M∥^k), donc CVN donc CVU donc l’exponentielle est continue.
Sur le plan : Q7) Avez-vous une application de la signature d’une forme quadratique ? Je ne savais pas trop. Le membre du jury me dit : cela permet de classifier les quadriques. Faites-le.
R7 : Je transpire à grosses gouttes. On le fait en dimension 3. Pour la signature (3,0), j’écrisx^2+y^2+z^2 = 0. Il me dit immédiatement "pardon c’est x^2+y^2+z^2 = C, voire C = 1, j’aurais du préciser". En effet a posteriori c’était pas très malin de ma part... On cherche donc x2 + y2 + z2 = 1. Je dis que ce sera des surfaces, j’essaie de faire un dessin en regardant la trace dans un plan z constant. C’est un cercle. Je dessine un paraboloïde. Il me demande si l’ensemble est compact. Ah oui il sera fermé borné, en fait ce sera une sphère. Puis pour la signature (2,1), c’est bien un paraboloïde. Pour la signature (1,2), je dis que ce sera peut-être un dessin similaire car on change les rôles de x, y, z, il me dit de le faire quand même. Puis il me dit rapidement que ce sera les formes des centrales nucléaires.
Q7.5) Avez-vous une interprétation géométrique de la signature (j’avais mis dans le plan que la signature était entièrement déterminée par la forme quadratique) ? Par exemple en terme de dimension de certains sev.
R7.5 : Oui r est la dimension maximale d’un sev sur lequel q est définie positive.
Q8) J’avais mis trois items à la suite dans le plan : d’abord un lemme qui dit que si une forme quadratique q restreinte à F sev était définie, alors E est la somme directe de F et l'orthogonal de F. Puis le critère de Sylvester : M symétrique réelle est définie positive ssi ses mineurs principaux sont de déterminant > 0. Enfin en corollaire le fait que S_n^{++}(R) était ouvert dans S_n(R) (cf Gourdon pour les preuves). Une membre du jury me demande de prouver le corollaire à partir du critère de Sylvester.
R8 : Grâce au critère de Sylvester, on écrit S_n^{++}(R) comme intersection finie d’ouverts de S_n(R), car le déterminant (et la restriction à un mineur) est continu.
Q9) J’avais mis un lemme juste avant le théorème spectral, qui dit que si F est stable par u autoadjoint, alors l'orthogonal de F est stable aussi. La même examinatrice me demande quel est le lien entre ce lemme et le théorème spectral.
R9 : Le lemme permet de prouver le théorème spectral. On trouve d’abord un premier vecteur propre à u, puis on regarde l’hyperplan orthogonal de u. Il est stable par u, et l’induit est toujours auto-adjoint : on conclut par récurrence.
Autres questions : Q10) Est-ce que exp(AB) = exp(BA) ? Et si on regarde la trace ?
R10 : Non. Déjà rien n’assure que AB = BA. Pour la trace, je commence à écrire des calculs, puis je me rends compte que c’est plutôt le déterminant qui est conservé (on a det(exp(M)) = e^Tr(M)). Le jury me dit "oui c’est toujours compliqué ce genre de chose". Je réponds que si A et B commutent, on a exp(A + B) = exp(A) exp(B).
Q11) Comment calculeriez-vous l’exponentielle d’une matrice quelconque ?
R11 : On pourrait calculer la somme tronquée pour avoir une approximation (je me croyais encore en option B ou quoi ?) En général on va chercher à réduire la matrice et utiliser Q1, par exemple si M est dz, il suffit de calculer une matrice de passage pour avoir très simplement exp(M).
Q11.5) Si M a une décomposition de Dunford par exemple ?
R11.5 : Si M = D + N avec D dz et N nilpo qui commutent, alors exp(M) = exp(D) exp(N) (car elles commutent !). exp(D) c’est facile grâce à Q11, et exp(N) c’est une somme finie qui s’arrête à l’indice de nilpotence de N .
Q12) Faites l’algorithme de Gauss sur q(x,y,z) = xz+yz.
R12 : Je dis qu’on va chercher à écrire q sous forme de carrés de formes linéaires indépendantes. Je galère un peu. J’écris l’identité XY = [(X+Y)^2 - (X-Y)^2]/4. Si on l’applique directement c’est pas super car après on va avoir 4 formes linéaires, donc pas possibles qu’elles soient indépendantes.
L’examinatrice me dit d’essayer d’écrire q différemment. Ah oui q(x,y,z) = (x+y)z donc c’est bon.
Q12.5) Quelle est la signature ? Est-elle positive/négative, définie ?
R12.5 : C’est (1,1). Aucun des 4, je décris les signatures dans chaque cas.
Q13) Vous avez pris deux points de vue pour les matrices symétriques : l’un via les endomorphismes autoadjoints, et l’autre via les formes quadratiques. Peut-on passer de l’un à l’autre sans passer par les matrices symétriques ?
R13 : Si u autoadjoint, alors q(x) = est une forme quadratique. Si q est une forme quadratique,... je m’embrouille un peu en essayant de retrouver une identité de polarisation (sans succès malheureusement). L’examinatrice me dit qu’on aimerait quelque chose de canonique (car si on passe par les matrices, il faut fixer une base à un moment). Je me reprends, soit q quadratique sur E un R-ev sans structure euclidienne. On rajoute le produit scalaire φ(x, y) (forme polaire de q). Il faut donc que q soit définie positive pour que ce soit bien un produit scalaire (je crois que c’est ce qu’elle attendait, elle a dit oui quand j’ai donné la condition définie positive). L’endomorphisme autoadjoint associé est l’identité j’ai l’impression.
