Développement : Décomposition des fonctions de Sobolev

Détails/Enoncé :

Soient $N \in \mathbb{N}^{\ast}$ et $\Omega$ un ouvert borné. On note $H^1 (\Omega, \mathbb{R}^N)$ l'espace de Sobolev des fonctions de carré intégrables sur $\Omega$ de dérivées faibles également de carré intégrable sur $\Omega$.

On pose
\[ V = \left\{ u \in H^1 (\Omega, \mathbb{R}^N) \ | \ \int_{\Omega} u (x) \mathrm{d} x = \int_{\Omega} (x_i u_j (x) - x_j u_i (x)) \mathrm{d} x = 0 \right\} \]
et
\[ \operatorname{RM} (\Omega) = \left\{ r : x \longmapsto Ax + b \ | \ A \in \mathcal{A}_N (\mathbb{R}) \text{ et } b \in \mathbb{R}^N \right\}, \]
où $\mathcal{A}_N (\mathbb{R})$ est l'ensemble des matrices antisymétriques réelles carrées de taille $N$.

Le but de ce développement est de montrer que
\[ H^1 (\Omega, \mathbb{R}^N) = V \oplus \operatorname{RM} (\Omega) . \]

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  • Remarque :
    Je n'ai jamais testé ce développement en temps réel : je l'ai travaillé après avoir passé l'agrégation (dans le cadre d'un stage de M2 recherche). Il n'a pas non plus de référence, donc il reste assez risqué : à travailler soigneusement.

    Ceci dit, il reste très intéressant parce qu'il permet de calculer une décomposition de l'espace fonctionnel $H^1 (\Omega, \mathbb{R}^N)$ en somme directe.

    Attention aux coquilles.
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Références utilisées dans les versions de ce développement :