Développement : Critère de Sylvester et applications

Détails/Enoncé :

Théorème [Critère de Sylvester]
Si $A \in S_n(\mathbb{R})$, alors $A$ est sym. déf. positive ssi tous ses mineurs principaux dominants sont strictement positifs.
En d'autres termes si $A=(a_{i,j})_{1\leq i,j\leq n} \in S_n(\mathbb{R})$, on note $A_k=(a_{i,j})_{1\leq i,j\leq k} \in S_k(\mathbb{R})$. Alors $A \in S_n^{++}(\mathbb{R})$ si et seulement si $\det(A_k) > 0$ pour tout $k \in \{ 1,...,n\}$.

Application à la signature
Si $A \in M_n(\mathbb{R})$ est symétrique définie de signature $(r,s)$, alors elle est congruente à $diag(I_r, -I_s)$.

Exemple d'application
La matrice de coefficients $\frac{1}{|i+j|-1}$ est symétrique définie positive.

Recasages pour l'année 2025 :

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    Développement assez original, pas trop dur mais assez long. On utilise le théorème d'inertie de Sylvester, le développement par colonne du déterminant et le fait que si f est une fonction continue, positive, d'intégrale nulle alors f est nulle. Je propose comme recasages supplémentaires la 170 et la 171, à condition de bien insister sur le lemme. NB1 : Il faut se convaincre soi-même de la pertinence d'un recasage et être capable de défendre son choix le jour J devant le jury. Vous pouvez, évidemment, ne pas être d'accord avec moi. NB2 : Il peut y avoir des fautes dans ce que j'écris, faites attention.
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    Je trouve ce développement d'une difficulté très correcte, il n'y a rien de très compliqué. Il faut juste être très au clair sur la réduction des formes quadratiques. L'application peut faire dépasser les 15 minutes, je pense qu'il faut la faire "rapidement", le jury posera de toute façon des questions dessus s'il veut en savoir plus.

    Je prends ce développement pour les leçons 149, 170 et 171. Prenez du temps pour réfléchir à la leçon 149, c'est peut-être un peu léger mais ça ne me dérange pas.

    On trouvera la preuve aux alentours de la page 233 et 248.
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    A la fin de mes devs je mets toujours une petite note sur les résultats annexes à savoir, c'est très subjectif et non exhaustif, il y a évidemment pleins d'autres choses à savoir sur chaque dev que ce que je mets.

    Pour me contacter si besoin : axel.carpentier2001@gmail.com
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    Développement sympathique, pas spécialement difficile, mais assez attention au temps. Les récurrences rendent le développement assez long. Le lemme de départ peut être une bonne source d'économie de temps, mais sans le montrer, le développement est un peu court... Il faut voir comment vous vous y prenez pour faire votre choix. Maîtriser la loi d'inertie de Sylvester est bien évidemment un impératif pour présenter ce développement.

    Côté recasage à mon avis:
    Formes quadratiques sur un ev de dimension finie
    Déterminant (certains considèrent ce recasage abusif. Je ne comprends pas: le critère de Sylvester porte précisément sur les mineurs de la matrice qui sont des déterminants. En plus dans l'application, on est amené à développer un déterminant...)
    Formes quadratiques réelles
    Matrices symétriques

    Les remarques que j'ai mises à la fin du document sont purement personnelles ; elles font souvent référence aux difficultés que j'ai pu avoir au moment de préparer mes développements, peut-être certains pourront les trouver utiles... S'il y a une erreur dans le document ou quelque chose de douteux, vous pouvez me contacter par mail avec plaisir.
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Références utilisées dans les versions de ce développement :

Carnet de voyage en Algébrie, Philippe Caldero, Marie Peronnier (utilisée dans 108 versions au total)
Analyse , Gourdon (utilisée dans 596 versions au total)
Algèbre , Gourdon (utilisée dans 333 versions au total)
Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie, Jean Etienne Rombaldi (utilisée dans 493 versions au total)