Développement : Critère de Sylvester et applications

Détails/Enoncé :

Théorème [Critère de Sylvester]
Si $A \in S_n(\mathbb{R})$, alors $A$ est sym. déf. positive ssi tous ses mineurs principaux dominants sont strictement positifs.
En d'autres termes si $A=(a_{i,j})_{1\leq i,j\leq n} \in S_n(\mathbb{R})$, on note $A_k=(a_{i,j})_{1\leq i,j\leq k} \in S_k(\mathbb{R})$. Alors $A \in S_n^{++}(\mathbb{R})$ si et seulement si $\det(A_k) > 0$ pour tout $k \in \{ 1,...,n\}$.

Application à la signature
Si $A \in M_n(\mathbb{R})$ est symétrique définie de signature $(r,s)$, alors elle est congruente à $diag(I_r, -I_s)$.

Exemple d'application
La matrice de coefficients $\frac{1}{|i+j|-1}$ est symétrique définie positive.

Recasages pour l'année 2024 :

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    Développement assez original, pas trop dur mais assez long. On utilise le théorème d'inertie de Sylvester, le développement par colonne du déterminant et le fait que si f est une fonction continue, positive, d'intégrale nulle alors f est nulle. Je propose comme recasages supplémentaires la 170 et la 171, à condition de bien insister sur le lemme. NB1 : Il faut se convaincre soi-même de la pertinence d'un recasage et être capable de défendre son choix le jour J devant le jury. Vous pouvez, évidemment, ne pas être d'accord avec moi. NB2 : Il peut y avoir des fautes dans ce que j'écris, faites attention.
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    Je trouve ce développement d'une difficulté très correcte, il n'y a rien de très compliqué. Il faut juste être très au clair sur la réduction des formes quadratiques. L'application peut faire dépasser les 15 minutes, je pense qu'il faut la faire "rapidement", le jury posera de toute façon des questions dessus s'il veut en savoir plus.

    Je prends ce développement pour les leçons 149, 170 et 171. Prenez du temps pour réfléchir à la leçon 149, c'est peut-être un peu léger mais ça ne me dérange pas.

    On trouvera la preuve aux alentours de la page 233 et 248.
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Références utilisées dans les versions de ce développement :

Carnet de voyage en Algébrie, Philippe Caldero, Marie Peronnier (utilisée dans 56 versions au total)
Algèbre , Gourdon (utilisée dans 238 versions au total)
Analyse , Gourdon (utilisée dans 401 versions au total)