Développement : Interprétation géométrique du déterminant

Détails/Enoncé :

On montre que si u est un endomorphisme de R^n et X un borélien alors λ(u(X)) = | dét(u) | λ(X). On conclut à la classique interprétation géométrique du déterminant comme volume du parallélépipède formé par les vecteurs.
On peut également en déduire le volume d'une ellipse à partir de celui du cercle, d'un ellipsoïde en dimension 3 à partir de celui de la boule de R^3, le volume d'un tétraèdre engendré par trois vecteurs, ...

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  • Remarque :
    C'est un développement magnifique qui mêle théorie de la mesure, réduction et une pincée de déterminants.
    Le développement peut être trouvé pour le cas de u dans GL dans le chapitre sur les mesures images du Briane-Pagès.
    Pour la leçon 149 ou 191 le développement est très bien tel quel. Pour la leçon 157 ou 158 on pourra admettre l'étape 1a pour se libérer du temps et prouver la décomposition polaire.
    Pour l'anecdote : c'est le 1er développement que j'ai présenté de l'année et on m'a posé en exercice la question 8 puis la question 7. Pour éviter le bug total du système je vous conseille de bien lire les réponses aux questions de la page 2. Une fois que vous savez y répondre plus rien ne devrait vous faire peur sur ce développement.
    Pour plus de questions, vous pouvez me contacter à alexandre.masseix@ens-paris-saclay.fr
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Références utilisées dans les versions de ce développement :