Développement : Théorème de Perron-Frobenius pour les matrices positives irréductibles et application aux chaînes de Markov

Détails/Enoncé :

Il est question dans ce développement de montrer que si $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ est positive et irréductible alors :

1) $\rho(A) > 0$ et $\rho(A) \in \text{Sp}(A)$,
2) La valeur propre $\rho(A)$ est simple (i.e. elle est de multiplicité algébrique égale à 1),
3) L'espace propre $E_{\rho(A)}(A)$ est engendré par un vecteur propre strictement positif,
4) Si $A$ est strictement positive, alors $\rho(A)$ est l'unique valeur propre de module maximal.

À cela s'ajoute une application aux chaînes de Markov : Si $(X_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est une chaîne de Markov irréductible à valeurs dans un espace d'états fini $E$, de matrice associée $P$ alors

1) Il existe une unique probabilité invariante $\mu$ pour la dynamique issue de $P$, et cette mesure charge tous les éléments de $E$,
2) Si de plus la chaîne est apériodique, alors :
$$
P^k \xrightarrow[k \to +\infty]{} \begin{pmatrix}
\mu \\
\vdots \\
\mu
\end{pmatrix}
$$
où on a représenté la mesure $\mu$ comme un vecteur ligne. En particulier, quelle que soit la loi de $X_0$, $(X_n)$ converge en loi vers la probabilité invariante $\mu$.

Recasages pour l'année 2026 :

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    Le théorème de Perron-Frobenius n'est jamais que de l'analyse matricielle, mais il n'a d'intérêt qu'en son interprétation dans le contexte des chaînes de Markov. Le recasage en probas est donc osé, même si l'on est pas option A ; en revanche il est très adapté à la 206 ou la 226. C'est aussi pour moi c'est aussi l'histoire d'une réconciliation avec les processus aléatoires, et c'est émouvant. Pendant markovien de Galton-Watson, qui lui embraye sur les martingales, c'est un « ancien classique » qui a l'avantage de n'être pas nommément frowned-upon comme son analogue dans le rapport du jury. L'adhérence - même au sein des chaînes de Markov - n'est pas violente et l'on peut également parler de l'algorithme PageRank de Google sans avoir vraiment de bagage probabiliste.
    J'ai choisi de montrer le théorème dans le cas d'une matrice > 0 (et donc le corollaire en probas dans le cas ergodique). C'est déjà très chaud de tout loger en quinze minutes. N'étant pas un spécialiste je peux donc me permettre de faire une partie du plan sur les chaînes de Markov... sans parler de probas, mais uniquement des bases sur les matrices de transition, c'est-à-dire en éludant les notions de périodicité, récurrence et transience. Pour plus de détails je renvoie au plan que j'ai produit le jour J, il est sur mon site.
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Références utilisées dans les versions de ce développement :

Analyse matricielle , Rombaldi (utilisée dans 33 versions au total)
Thèmes de probabilités et statistique , Toulouse (utilisée dans 1 versions au total)
Probabilités pour les non-probabilistes, Walter Appel (utilisée dans 51 versions au total)
Probabilités, Barbe-Ledoux (utilisée dans 41 versions au total)