Développement : Théorème de Bohr-Mollerup (par la méthode d'Artin)

Détails/Enoncé :

Toute fonction $f:\mathbb R^*_+ \rightarrow \mathbb R^*_+$ vérifiant
(a) $f(x+1)=xf(x)$ pour tout $x>0$
(b) $f(1)=1$
(c) $f$ est logarithmiquement convexe
est égale à la fonction $\Gamma$.

Dans la preuve, nous montrons en particulier la formule de Gauß
$$\Gamma(x) = \displaystyle\lim_{n\to +\infty} \frac{n^xn!}{(x+n)\ldots (x+1)x}$$
Le théorème de Bohr-Mollerup permet également de montrer sans calcul la formule de Legendre et celle reliant $\Gamma$ à la fonction Bêta.

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  • Remarque :
    Développement sympa autour du théorème de Bohr-Mollerup, de la formule de duplication de Legendre ainsi qu'en application le calcul de l'intégrale de Raabe.
    Leçons concernées : 229, 236, 239, 253.
    J'ai mis quelques prérequis qui sont selon moi le minimum à connaître le jour où l'on présente ce développement.
    Je n'ai pas mis la preuve de la formule de Gauss mais on peut retrouver la preuve dans le Gourdon ou l'Elements d'analyse réelle de Rombaldi.
  • Référence :
  • Fichier :

Références utilisées dans les versions de ce développement :

Exercices et problèmes corrigés pour l'agrégation de mathématiques, Rombaldi (utilisée dans 13 versions au total)
Analyse réelle et complexe , Rudin (utilisée dans 91 versions au total)
Elements d'analyse réelle , Rombaldi (utilisée dans 91 versions au total)
Analyse , Gourdon (utilisée dans 610 versions au total)
Carnet de voyage en Analystan, Caldero (utilisée dans 21 versions au total)