Développement : Marche aléatoire sur [0;1]

Détails/Enoncé :

Soit $p\in ]0;1[$, $(\xi _n)_{n\in\mathbf{N}}$ suite de variables aléatoires de même loi $\mathcal{B}(1;p)$, $(U_n)_{n\in\mathbf{N}}$ variables aléatoires de même loi $\mathcal{U}([0;1])$ telles que toutes les variables aléatoires introduites sont indépendantes. Soit $X_0 \in [0;1]$ et $\forall n\in\mathbf{N}, X_{n+1} = U_n X_n+\xi _n(1-U_n)$.
Alors: la suite $(X_n)$ tend en loi vers une variable aléatoire de loi $\beta(p;1-p)$.

Recasages pour l'année 2025 :

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  • Remarque :
    Le développement est très bien réalisé et détaillé dans la référence. Je suis passée dessus le jour de l'oral. A mon avis c'est un développement original, un peu exigeant mais rentable. En particulier, il faut savoir démontrer les parties / lemmes que l'on admet si on nous le demande.

    Je poste ici le schéma de la preuve, comment j'organise la démonstration pour que cela tienne en 15 minutes et également les questions posées par le jury.

    De mon point de vue, il peut être utilisé dans les leçons 201, 261, 262, 265 et 266.
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Références utilisées dans les versions de ce développement :

131 Développements pour l’oral, D. Lesesvre, P. Montagnon, P. Le Barbenchon, T. Pierron (utilisée dans 75 versions au total)