Développement : Théorème de Banach-Alaoglu

Détails/Enoncé :

Cas d'un espace séparable : Soit $(E,\|\cdot\|)$ un espace vectoriel normé séparable, et $(T_n)_{n\in \mathbb{N}}$ une suite d'éléments de $\mathcal{L}_{\mathrm{c}}(E, \mathbb{K})$, bornée pour la norme subordonnée. Alors il existe une extractrice $\varphi : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ et $T$ élément de $\mathcal{L}_{\mathrm{c}}(E, \mathbb{K})$ telle que pour tout $x\in E$, $$\lim_{k\to +\infty} T_{\varphi(k)}(x)=T(x).$$
Cas d'un espace de Hilbert : Soit $\left(H,\langle \cdot , \cdot\rangle\right)$ un espace de Hilbert, et $(x_n)_{n\in \mathbb{N}}$ une suite bornée d'éléments de $H$. Alors il existe une suite extraite de $(x_n)_{n\in \mathbb{N}}$ qui converge faiblement dans $H$.

Recasages pour l'année 2026 :

Versions :

  • Auteur :
  • Remarque :
    Cette version est un peu brouillonne je trouve et ce dev. n'est même pas trop satisfaisant finalement.
  • Fichier :
  • Auteur :
  • Remarque :
    En plus d'avoir un nom à mourir de rire, le théorème de Banach-Alaoglu, ce parent pauvre de votre vieux cours d'analyse fonctionnelle, a la particularité d'avoir un indice de recasage infini (genre 7 ou 8 non abusifs). En plus, il n'est pas très compliqué... Mais là attention. En fait, vous devez relativement pouvoir parler ensuite de topologie faible et de topologie faible-étoile, et là, il faut être relativement sûr de soi. Mais bon... Pourquoi pas ? Note : en se concentrant sur les Hilbert et l'optimisation qu'il y a derrière i. e. la limite faible est dans l'enveloppe convexe + minimisation d'une fonctionnelle coercive, on a une chance de tourner la leçon Extrema vers des espaces de Hilbert, mais cette chance n'est pas une garantie et il y a une probabilité $> \frac{5}{8}$ que ce numéro de funambulisme ne porte pas ses fruits, comme en prévient d'ailleurs ardemment le Bernis-Bernis, et qu'on l'on y retombe illico presto le nez dans les conditions KKT et des hessiennes en chaleur.
  • Référence :
  • Fichier :

Références utilisées dans les versions de ce développement :

Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, Julien Bernis et Laurent Bernis (utilisée dans 175 versions au total)
Elements d'analyse fonctionnelle cours et exercises avec réponses, F. Hirsch, G. Lacombe (utilisée dans 124 versions au total)