Développement : Invariants de similitude (réduction de Frobenius)

Détails/Enoncé :

Soit $u \in L(E)$ et $E$ un espace vectoriel de dimension finie. La réduction de Frobenius consiste à montrer qu'il existe des sous-espaces $F_i$ tels que $E = \bigoplus_{i=1}^r F_i$, les $F_i$ soient stables par $u$, $u_{F_i}$ soit cyclique et $P_i$ soit le polynôme minimal de $u_{F_i}$ de sorte que $P_r | \cdots | P_1 = \mu_u$.

Recasages pour l'année 2025 :

Autres années :

Versions :

  • Auteur :
  • Remarque :
    Gros document sur la réduction de Frobenius. En plus de la preuve du théorème, il y a des résultats sur le calcul pratique des invariants de similitudes mais aussi des applications de cette réduction pour l'étude du commutant et bicommutant.
    Lien pour le document:
    Voici une preuve du théorème des disques de Gershgorin topologiques. Elle utilise un résultat sur la continuité des racines d'un polynôme qui est aussi démontré sur le document. Pour que la preuve tienne en 15min pour en faire un développement il faut faire des choix sur ce qu'on démontre ou non.
    Voici le lien pour le document:
    https://perso.eleves.ens-rennes.fr/people/thomas.courant/Agr%C3%A9gation.html
  • Références :
  • Fichier :
  • Auteur :
  • Remarque :
    Développement très sympa qui vaut le coup d'être travaillé, car bien maîtriser les résultats autour des invariants de similitude donne de la ressource pour répondre à des questions théoriques de réduction.
    Je traite dans le poly l'existence et l'unicité, même si après des essais à l'oral je pense qu'il est complètement impossible de faire les deux sans bâcler le travail. Ma preuve est globalement celle de Gourdon.
    N'hésitez pas à me contacter en cas de coquille !
  • Fichier :

Références utilisées dans les versions de ce développement :

Algèbre , Gourdon (utilisée dans 350 versions au total)
Algèbre linéaire réduction des endomorphismes, R. Mansuy, R. Mneimné (utilisée dans 82 versions au total)
Histoires hédonistes de groupes et géométries, Tome 1, Caldero, Germoni (utilisée dans 122 versions au total)
Algèbre et probabilités, Gourdon (utilisée dans 119 versions au total)
Nouvelles histoires hédonistes de groupes et géométries, P. Caldero, J. Germoni (utilisée dans 75 versions au total)
Algèbre : le grand combat: Cours et exercices, Grégory Berhuy (utilisée dans 145 versions au total)