Leçon 191 : Exemples d’utilisation de techniques d’algèbre en géométrie.

(2024) 191

Dernier rapport du Jury :

(2024 : 191 - Exemples d'utilisation de techniques d'algèbre en géométrie.) Le jury souhaite proposer une leçon qui offre une ouverture large autour du thème de la géométrie. Avec cet intitulé, les candidates et candidats sont libres de présenter des résultats et des exemples très variés en lien avec la géométrie. L'objectif n'est pas de couvrir le plus d'aspects possible, mais plutôt d'en proposer certains suffisamment consistants et variés. À partir du moment où ils sont de nature géométrique, tous les éléments du programme peuvent être pertinents. En contrepartie de cette liberté laissée aux candidates et candidats, une difficulté est de structurer la présentation des objets et des notions choisis. Ainsi, plusieurs approches sont possibles pour organiser cette leçon, par exemple : - en regroupant les outils par " famille " : outils matriciels (repérage des points par des matrices colonnes, des transformations par des matrices, rang, réduction, etc.), outils polynomiaux (formes quadratiques, déterminant, résultant, etc.), outils structurels (groupes, corps) ; - ou par niveau d'abstraction/de généralité (nombres réels, complexes, matrices, groupes...) ; - ou par type d'objectifs (identifier des objets géométriques, les mesurer, les classifier, démontrer des résultats en utilisant des transformations géométriques...) Il est aussi possible de se focaliser sur un seul type d'outils (par exemple algèbre linéaire, géométrie affine ou groupes) en détaillant plusieurs applications en géométrie ou sur une question géométrique fouillée à l'aide de diverses techniques (par exemple sur des problèmes impliquant des figures géométriques comme les cercles et triangles, les polygones et polyèdres réguliers, etc.). Des situations " élémentaires ", dans le plan, permettent certainement de mettre en valeur des connaissances et un recul mathématique. Il faut bien éviter l'écueil d'un catalogue fastidieux ou celui qui consisterait à recycler directement le contenu d'une autre leçon avec un vague habillage géométrique. Parmi les nombreux éléments qui peuvent être discutés, on peut indiquer : - les notions de distance, aire, volume. Notamment les propriétés de la matrice de Gram, le lien entre déterminant et aire d'un parallélogramme ou volume d'un parallélépipède, la construction du produit vectoriel et du produit mixte,... peuvent être exploités avec pertinence dans cette leçon. On peut ainsi être amené à étudier l'aire balayée par un arc paramétré du plan, la position d'un point par rapport à un cercle circonscrit à un triangle, etc. Le déterminant de Cayley- Menger permet de mettre en évidence des conditions pour que n 1 points de $R^n$ forment une base affine, ou que n 2 points de $R^n$ soient cocycliques. Dans une autre direction, la division euclidienne dans Z donne une preuve d'une forme du théorème de la base adaptée, avec pour conséquence le calcul du volume (d'une maille élémentaire) d'un sous réseau de $Z^n$ comme étant le déterminant d'un système générateur dans la base canonique. - l'apport de l'algèbre linéaire à la géométrie. On peut ainsi exploiter le calcul matriciel et les techniques de réduction pour mettre en évidence des informations de nature géométrique (avec les exemples fondamentaux des homothéties, projections, symétries, affinités, rotations, la classification des isométries vectorielles, etc.). On peut être alors amené à présenter le théorème de Cartan-Dieudonné sur la décomposition d'isométries euclidiennes en produit de réflexions ou encore évoquer une (ou des) interprétation(s) géométrique(s) de la décomposition en valeurs singulières. Dans cette même veine, la leçon peut être orientée vers la géométrie affine, en s'adossant à la théorie des espaces vectoriels pour définir certains objets (espaces et sous- espaces affines, applications affines, repères affines, etc), ce qui permet, par exemple, d'établir ainsi certains résultats classiques, comme les théorèmes de Thalès, Pappus, Desargues,... - l'analyse des formes quadratiques permet d'aborder des problèmes géométriques : étude des coniques, quadriques, classification des quadriques de $R^n$, interprétation géométrique de la signature, application des méthodes de réduction, etc. - la théorie des groupes est un champ naturel pour cette leçon (mais qui n'est cependant pas indispensable) : groupes de transformations (isométries, déplacements, similitudes, translations), composition de transformations, mise en évidence d'invariants fondamentaux (angle, birapport, excentricité d'une conique). Il est possible de se focaliser sur des groupes de transformations préservant une certaine structure géométrique et en distinguant parmi eux les groupes finis (groupes d'isométries classiques), les groupes discrets infinis (avec des translations, groupes de pavages) et, pour aller plus loin, les groupes continus (groupes de Lie). - les techniques de convexité constituent aussi un champ fructueux : le théorème de séparation par un hyperplan dans $R^n$ de Hahn-Banach et, en corollaire, le théorème de Helly permettent par exemple d'établir des propriétés intéressantes sur les cordes de convexes compacts. - certains candidates et candidats peuvent trouver intérêt à aborder les questions d'intersection de courbes polynomiales, qui permettent notamment de mettre en oeuvre le théorème de Bezout et des méthodes exploitant la notion de résultant. - un grand nombre de problèmes de géométrie peuvent être traités en exploitant le formalisme des nombres complexes. Il est tout à fait approprié d'évoquer l'étude des inversions et, en particulier, la possibilité de ramener un cercle à une droite et inversement ; la formule de Ptolémée illustre bien l'utilisation de cet outil. On peut parler des suites définies par récurrence par une homographie et leur lien avec la réduction dans SL2pCq et aborder la construction de la sphère de Riemann. - les problématiques de la construction à la règle et au compas constituent un autre axe pertinent pour cette leçon, avec le théorème de Wantzel, et peuvent conduire à s'intéresser à des extensions de corps. Comme dans le cas des autres leçons, il est tout à fait bienvenu de chercher à illustrer cette leçon par des exemples issus de l'analyse, des probabilités, de la statistique (par exemple en évoquant l'interprétation géométrique de l'analyse en composantes principales), du calcul formel (par exemple avec les applications du résultant) ou du calcul scientifique (par exemple en présentant des problématiques de géométrie computationnelle, comme le calcul d'enveloppe convexe, les algorithmes de triangulation de Delaunay, les diagrammes de Voronoi...). Les thèmes en lien avec la géométrie projective ou la géométrie algébrique peuvent permettre à certains candidates et candidats de présenter des résultats très avancés. Cette leçon nécessite une préparation très personnelle et réfléchie. Les exemples et les résultats qui y sont présentés ont vocation à inciter les candidates et candidats à enrichir les autres leçons de cette épreuve d'exemples issus de la géométrie.

(2022 : 191 - Exemples d'utilisation des techniques d'algèbre en géométrie.) Le jury souhaite proposer une leçon qui offre une ouverture large autour du thème de la géométrie. Avec cet intitulé, les candidats sont libres de présenter des résultats et des exemples très variés en lien avec la géométrie. L'objectif n'est pas de couvrir le plus d'aspects possible, mais plutôt d'en proposer certains suffisamment consistants et variés. À partir du moment où ils sont de nature géométrique, tous les éléments du programme peuvent être pertinents. En contrepartie de cette liberté laissée aux candidats, une difficulté est de structurer la présentation des objets et des notions choisies. Ainsi, plusieurs approches sont possibles pour organiser cette leçon, par exemple : - en regroupant les outils par "famille" : outils matriciels (repérage des points par des matrices colonnes, des transformations par des matrices, rang, réduction, etc.), outils polynomiaux (formes quadratiques, déterminant, résultant, etc.), outils structurels (groupes, corps) ; - ou par niveau d'abstraction/de généralité (nombres réels, complexes, matrices, groupes...) ; - ou par type d'objectifs (identifier des objets géométriques, les mesurer, les classifier, démontrer des résultats en utilisant des transformations géométriques...) Il est aussi possible de se focaliser sur un seul type d'outils (par exemple algèbre linéaire, géométrie affine ou groupes) en détaillant plusieurs applications en géométrie ou sur une question géométrique fouillée à l'aide de diverses techniques (par exemple sur des problèmes impliquant des figures géométriques comme les cercles et triangles, les polygones et polyèdres réguliers, etc.). Des situations "élémentaires", dans le plan, permettent certainement de mettre en valeur des connaissances et un recul mathématique. Il faut bien éviter l'écueil d'un catalogue fastidieux ou celui qui consisterait à recycler directement le contenu d'une autre leçon avec un vague habillage géométrique. Parmi les nombreux éléments qui peuvent être discutés, on peut indiquer : - les notions de distance, aire, volume. Notamment les propriétés de la matrice de Gram, le lien entre déterminant et aire d'un parallélogramme ou volume d'un parallélépipède, la construction du produit vectoriel et du produit mixte,... peuvent être exploités avec pertinence dans cette leçon. On peut ainsi être amené à étudier l'aire balayée par un arc paramétré du plan, la position d'un point par rapport à un cercle circonscrit à un triangle, etc. Le déterminant de Cayley-Menger permet de mettre en évidence des conditions pour que $n+1$ points de $R^n$ forment une base affine, ou que $n+2$ points de $R^n$ soient cocycliques. Dans une autre direction, la division euclidienne dans Z donne une preuve d'une forme du théorème de la base adaptée, avec pour conséquence le calcul du volume (d'une maille élémentaire) d'un sous réseau de $Z^n$ comme étant le déterminant d'un système générateur dans la base canonique. - l'apport de l'algèbre linéaire à la géométrie. On peut ainsi exploiter le calcul matriciel et les techniques de réduction pour mettre en évidence des informations de nature géométrique (avec les exemples fondamentaux des homothéties, projections, symétries, affinités, rotations, la classification des isométries vectorielles, etc.). On peut être alors amené à présenter le théorème de Cartan-Dieudonné sur la décomposition d'isométries euclidiennes en produit de réflexions ou encore évoquer une (ou des) interprétation(s) géométrique(s) de la décomposition en valeurs singulières. Dans cette même veine, la leçon peut être orientée vers la géométrie affine, en s'adossant à la théorie des espaces vectoriels pour définir certains objets (espaces et sous-espaces affines, applications affines, repères affines, etc), ce qui permet, par exemple, d'établir ainsi certains résultats classiques, comme les théorèmes de Thalès, Pappus, Desargues,... - l'analyse des formes quadratiques permet d'aborder des problèmes géométriques : étude des coniques, quadriques, classification des quadriques de $R^n$, interprétation géométrique de la signature, application des méthodes de réduction, etc ... - la théorie des groupes est un champ naturel pour cette leçon (mais qui n'est cependant pas indispensable) : groupes de transformations (isométries, déplacements, similitudes, translations), composition de transformations, mise en évidence d'invariants fondamentaux (angle, birapport, excentricité d'une conique). Il est possible de se focaliser sur des groupes de transformations préservant une certaine structure géométrique et en distinguant parmi eux les groupes finis (groupes d'isométries classiques), les groupes discrets infinis (avec des translations, groupes de pavages) et, pour aller plus loin, les groupes continus (groupes de Lie). - les techniques de convexité constituent aussi un champ fructueux : le théorème de séparation par un hyperplan dans $R^n$ de Hahn-Banach et, en corollaire, le théorème de Helly permettent par exemple d'établir des propriétés intéressantes sur les cordes de convexes compacts. - certains candidats peuvent trouver intérêt à aborder les questions d'intersection de courbes polynomiales, qui permettent notamment de mettre en oeuvre le théorème de Bezout et des méthodes exploitant la notion de résultant. - un grand nombre de problèmes de géométrie peuvent être traités en exploitant le formalisme des nombres complexes. Il est tout à fait approprié d'évoquer l'étude des inversions et, en particulier la possibilité de ramener un cercle à une droite et inversement ; la formule de Ptolémée illustre bien l'utilisation de cet outil. On peut parler des suites définies par récurrence par une homographie et leur lien avec la réduction dans $SL_2(C)$ et aborder la construction de la sphère de Riemann. - les problématiques de la construction à la règle et au compas constituent un autre axe pertinent pour cette leçon, avec le théorème de Wantzel, et peuvent conduire à s'intéresser à des extensions de corps. Comme dans le cas des autres leçons, il est tout à fait bienvenu de chercher à illustrer cette leçon par des exemples issus de l'analyse, des probabilités, de la statistique (par exemple en évoquant l'interprétation géométrique de l'analyse en composantes principales), du calcul formel (par exemple avec les applications du résultant) ou du calcul scientifique (par exemple en présentant des problématiques de géométrie computationnelle, comme le calcul d'enveloppe convexe, les algorithmes de triangulation Delaunay, les diagrammes de Voronoi...). Les thèmes en lien avec la géométrie projective ou la géométrie algébrique peuvent permettre à certains candidats de présenter des résultats très avancés. Cette leçon nécessite une préparation très personnelle et réfléchie de la part des candidats. Les exemples et les résultats qui y sont présentés ont vocation à inciter les candidats à enrichir les autres leçons de cette épreuve d'exemples issus de la géométrie.
(2020 : 191 - Exemples d’utilisation des techniques d’algèbre en géométrie.) Rapport du jury 2019. Si cette nouvelle leçon est proposée alors que les intitulés « Applications des nombres complexes à la géométrie » et « Utilisation des groupes en géométrie » ne seront pas utilisés, il serait cependant erroné de l’envisager comme une simple fusion de leurs contenus. Le jury souhaite proposer une leçon qui offre une ouverture large autour du thème de la géométrie. Avec cet intitulé, les candidats sont libres de présenter des résultats et des exemples très variés en lien avec la géométrie. L’objectif n’est pas de couvrir le plus d’aspects possible, mais plutôt d’en mettre certains en avant tout en motivant les choix personnels des candidats. À partir du moment où ils sont de nature géométrique, tous les éléments du programme peuvent être pertinents. En contrepartie de cette liberté laissée aux candidats, la difficulté consiste à parvenir à structurer la présentation des objets et des notions choisies. Ainsi, plusieurs approches sont également valables pour organiser cette leçon,par exemple : — en regroupant les outils par « famille » : outils matriciels (repérage des points par des matrices colonnes, des transformations par des matrices, rang, réduction, etc.), outils polynomiaux (formes quadratiques, déterminant, résultant, etc.), outils structurels (groupes, corps) ; — ou par niveau d’abstraction/de généralité (nombres réels, complexes, matrices, groupes...) ; — ou par type d’objectifs (identifier des objets géométriques, les mesurer, les classifier, démontrer des résultats en utilisant des transformations géométriques...) Il est aussi possible de se focaliser sur un seul type d’outils (par exemple algèbre linéaire, géométrie affine ou groupes) en détaillant plusieurs applications en géométrie ou sur une question géométrique fouillée à l’aide de diverses techniques (par exemple sur des problèmes impliquant des figures géométriques comme les cercles et triangles, les polygones et polyèdres réguliers, etc.). Des situations « élémentaires », dans le plan, permettent certainement de mettre en valeur des connaissances et un recul mathématique. Il faut bien éviter l’écueil d’un catalogue fastidieux ou celui qui consisterait à recycler directement le contenu d’une autre leçon avec un vague habillage géométrique. Parmi les nombreux éléments qui peuvent être discutés, on peut indiquer : — les notions de distance, aire, volume. Notamment les propriétés de la matrice de Gram, le lien entre déterminant et aire d’un parallélogramme ou volume d’un parallélépipède, la construction du produit vectoriel et du produit mixte,... peuvent être exploités avec pertinence dans cette leçon. On peut ainsi être amené à étudier l’aire balayée par un arc paramétré du plan, la position d’un point par rapport à un cercle circonscrit à un triangle, etc. Le déterminant de Cayley-Menger permet de mettre en évidence des conditions pour que n+1 points de $R^n$ forment une base affine, ou que $n+2$ points de $R^n$ soient cocycliques. Dans une autre direction, la division euclidienne dans $Z$ donne une preuve d’une forme du théorème de la base adaptée, avec pour conséquence le calcul du volume (d’une maille élémentaire) d’un sous réseau de $Z^n$ comme étant le déterminant d’un système générateur dans la base canonique. — l’apport de l’algèbre linéaire à la géométrie. On peut ainsi exploiter le calcul matriciel et les techniques de réduction pour mettre en évidence des informations de nature géométrique (avec les exemples fondamentaux des homothéties, projections, symétries, affinités, rotations, la classification des isométries vectorielles, etc.). On peut être alors amené à présenter le théorème de Cartan-Dieudonné sur la décomposition d’isométries euclidiennes en produit de réflexions ou encore évoquer une (ou des) interprétation(s) géométrique(s) de la décomposition en va-leurs singulières. Dans cette même veine, la leçon peut être orientée vers la géométrie affine,en s’adossant à la théorie des espaces vectoriels pour définir certains objets (espaces et sous-espaces affines, applications affines, repères affines, etc), ce qui permet, par exemple, d’établir ainsi certains résultats classiques, comme les théorèmes de Thalès, Pappus, Desargues,... — l’analyse des formes quadratiques permet d’aborder des problèmes géométriques : étude des coniques, quadriques, classification des quadriques de $R^n$, interprétation géométrique de la signature, application des méthodes de réduction, etc. — la théorie des groupes est un champ naturel pour cette leçon (mais qui n’est cependant pas indispensable) : groupes de transformations (isométries, déplacements, similitudes, translations),composition de transformations, mise en évidence d’invariants fondamentaux (angle, birapport,excentricité d’une conique). Il est possible de se focaliser sur des groupes de transformations préservant une certaine structure géométrique et en distinguant parmi eux les groupes finis (groupes d’isométries classiques), les groupes discrets infinis (avec des translations, groupes de pavages) et, pour aller plus loin, les groupes continus (groupes de Lie). — les techniques de convexité constituent aussi un champ fructueux : le théorème de séparation par un hyperplan dans $R^n$ de Hahn-Banach et, en corollaire, le théorème de Helly permettent par exemple d’établir des propriétés intéressantes sur les cordes de convexes compacts. — certains candidats peuvent trouver intérêt à aborder les questions d’intersection de courbes polynomiales, qui permettent notamment de mettre en œuvre le théorème de Bezout et des méthodes exploitant la notion de résultant. — un grand nombre de problèmes de géométrie peuvent être traités en exploitant le formalisme des nombres complexes. Il est tout à fait approprié d’évoquer l’étude des inversions et, en particulier la possibilité de ramener un cercle à une droite et inversement ; la formule de Ptolémée illustre bien l’utilisation de cet outil. On peut parler des suites définies par récurrence par une homographie et leur lien avec la réduction dans $SL_2(C)$ et aborder la construction de la sphère de Riemann. — les problématiques de la construction à la règle et au compas constituent un autre axe pertinent pour cette leçon, avec le théorème de Wantzel, et peuvent conduire à s’intéresser à des extensions de corps. Comme dans le cas des autres leçons, il est tout à fait bienvenu de chercher à illustrer cette leçon par des exemples issus de l’analyse, des probabilités, de la statistique (par exemple en évoquant l’interprétation géométrique de l’analyse en composantes principales), du calcul formel (par exemple avec les applications du résultant) ou du calcul scientifique (par exemple en présentant des problématiques de géométrie computationnelle, comme le calcul d’enveloppe convexe, les algorithmes de triangulation Delaunay, les diagrammes de Voronoi...). Les thèmes en lien avec la géométrie projective ou la géométrie algébrique peuvent permettre à certains candidats de présenter des résultats très avancés. Cette leçon nécessite une préparation très personnelle et réfléchie de la part des candidats. Les exemples et les résultats qui y sont présentés ont vocation à inciter les candidats à enrichir les autres leçons de cette épreuve d’exemples issus de la géométrie.
(2019 : 183 - Utilisation des groupes en géométrie.) Si cette nouvelle leçon [Leçon 191] est proposée alors que les intitulés « Applications des nombres complexes à la géométrie » et « Utilisation des groupes en géométrie » ne seront pas utilisés, il serait cependant erroné de l’envisager comme une simple fusion de leurs contenus. Le jury souhaite proposer une leçon qui offre une ouverture large autour du thème de la géométrie. Avec cet intitulé, les candidats sont libres de présenter des résultats et des exemples très variés en lien avec la géométrie. L’objectif n’est pas de couvrir le plus d’aspects possible, mais plutôt d’en mettre certains en avant tout en motivant les choix personnels des candidats. À partir du moment où ils sont de nature géométrique,tous les éléments du programme peuvent être pertinents. En contrepartie de cette liberté laissée aux candidats, la difficulté consiste à parvenir à structurer la présentation des objets et des notions choisies. Ainsi, plusieurs approches sont également valables pour organiser cette leçon, par exemple : $\\$ — en regroupant les outils par « famille » : outils matriciels (repérage des points par des matrices colonnes, des transformations par des matrices, rang, réduction, etc.), outils polynomiaux(formes quadratiques, déterminant, résultant, etc.), outils structurels (groupes, corps) ; $\\$ — ou par niveau d’abstraction/de généralité (nombres réels, complexes, matrices, groupes...) ; $\\$ — ou par type d’objectifs (identifier des objets géométriques, les mesurer, les classifier, démontrer des résultats en utilisant des transformations géométriques...) $\\$ Il est aussi possible de se focaliser sur un seul type d’outils (par exemple algèbre linéaire, géométrie affine ou groupes) en détaillant plusieurs applications en géométrie ou sur une question géométrique fouillée à l’aide de diverses techniques (par exemple sur des problèmes impliquant des figures géométriques comme les cercles et triangles, les polygones et polyèdres réguliers, etc.). $\\$ Des situations « élémentaires », dans le plan, permettent certainement de mettre en valeur des connaissances et un recul mathématique. Il faut bien éviter l’écueil d’un catalogue fastidieux ou celui qui consisterait à recycler directement le contenu d’une autre leçon avec un vague habillage géométrique. $\\$ Parmi les nombreux éléments qui peuvent être discutés, on peut indiquer : $\\$ — les notions de distance, aire, volume. Notamment les propriétés de la matrice de Gram, le lien entre déterminant et aire d’un parallélogramme ou volume d’un parallélépipède, la construction du produit vectoriel et du produit mixte,... peuvent être exploités avec pertinence dans cette leçon. On peut ainsi être amené à étudier l’aire balayée par un arc paramétré du plan, la position d’un point par rapport à un cercle circonscrit à un triangle, etc. Le déterminant de Cayley-Menger permet de mettre en évidence des conditions pour que $n+1$ points de $\textbf{R}^n$ forment une base affine, ou que $n+2$ points de $\textbf{R}^n$ soient cocycliques. Dans une autre direction, la division euclidienne dans $\textbf{Z}$ donne une preuve d’une forme du théorème de la base adaptée, avec pour conséquence le calcul du volume (d’une maille élémentaire) d’un sous réseau de $\textbf{Z}^n$ comme étant le déterminant d’un système générateur dans la base canonique. $\\$ — l’apport de l’algèbre linéaire à la géométrie. On peut ainsi exploiter le calcul matriciel et les techniques de réduction pour mettre en évidence des informations de nature géométrique (avec les exemples fondamentaux des homothéties, projections, symétries, affinités, rotations, la classification des isométries vectorielles, etc.). On peut être alors amené à présenter le théorème de Cartan-Dieudonné sur la décomposition d’isométries euclidiennes en produit de réflexions ou encore évoquer une (ou des) interprétation(s) géométrique(s) de la décomposition en valeurs singulières. Dans cette même veine, la leçon peut être orientée vers la géométrie affine, en s’adossant à la théorie des espaces vectoriels pour définir certains objets (espaces et sous-espaces affines, applications affines, repères affines, etc), ce qui permet, par exemple, d’établir ainsi certains résultats classiques, comme les théorèmes de Thalès, Pappus, Desargues,... $\\$ — l’analyse des formes quadratiques permet d’aborder des problèmes géométriques : étude des coniques, quadriques, classification des quadriques deRn, interprétation géométrique de la signature, application des méthodes de réduction, etc. $\\$ — la théorie des groupes est un champ naturel pour cette leçon (mais qui n’est cependant pas indispensable) : groupes de transformations (isométries, déplacements, similitudes, translations),composition de transformations, mise en évidence d’invariants fondamentaux (angle, birapport,excentricité d’une conique). Il est possible de se focaliser sur des groupes de transformations préservant une certaine structure géométrique et en distinguant parmi eux les groupes finis (groupes d’isométries classiques), les groupes discrets infinis (avec des translations, groupes de pavages) et, pour aller plus loin, les groupes continus (groupes deLie). $\\$ — les techniques de convexité constituent aussi un champ fructueux : le théorème de séparation par un hyperplan dans $\textbf{R}^n$ de Hahn-Banach et, en corollaire, le théorème de Helly permettent par exemple d’établir des propriétés intéressantes sur les cordes de convexes compacts. $\\$ — certains candidats peuvent trouver intérêt à aborder les questions d’intersection de courbes polynomiales, qui permettent notamment de mettre en œuvre le théorème deBezoutet des méthodes exploitant la notion de résultant. $\\$ — un grand nombre de problèmes de géométrie peuvent être traités en exploitant le formalisme des nombres complexes. Il est tout à fait approprié d’évoquer l’étude des inversions et, en particulier la possibilité de ramener un cercle à une droite et inversement ; la formule de Ptolémée illustre bien l’utilisation de cet outil. On peut parler des suites définies par récurrence par une homographie et leur lien avec la réduction dans $Sl_2(\textbf{C})$ et aborder la construction de la sphère de Riemann. $\\$ — les problématiques de la construction à la règle et au compas constituent un autre axe pertinent pour cette leçon, avec le théorème de Wantzel, et peuvent conduire à s’intéresser à des extensions de corps. $\\$ Comme dans le cas des autres leçons, il est tout à fait bienvenu de chercher à illustrer cette leçon par des exemples issus de l’analyse, des probabilités, de la statistique (par exemple en évoquant l’interprétation géométrique de l’analyse en composantes principales), du calcul formel (par exemple avec les applications du résultant) ou du calcul scientifique (par exemple en présentant des problématiques de géométrie computationnelle, comme le calcul d’enveloppe convexe, les algorithmes de triangulation Delaunay, les diagrammes de Voronoi...). Les thèmes en lien avec la géométrie projective ou la géométrie algébrique peuvent permettre à certains candidats de présenter des résultats très avancés. Cette leçon nécessite une préparation très personnelle et réfléchie de la part des candidats. Les exemples et les résultats qui y sont présentés ont vocation à inciter les candidats à enrichir les autres leçons de cette épreuve d’exemples issus de la géométrie.
(2017 : 183 - Utilisation des groupes en géométrie.) C’est une leçon dans laquelle on s’attend à trouver des utilisations variées. On s’attend à ce que soient définis différents groupes de transformations (isométries, déplacements, similitudes, translations) et à voir résolus des problèmes géométriques par des méthodes consistant à composer des transformations. De plus, les actions de groupes sur la géométrie permettent aussi de dégager des invariants essentiels (angle, birapport, excentricité d’une conique). Les groupes d’isométries d’une figure sont incontournables.
(2016 : 183 - Utilisation des groupes en géométrie.) C’est une leçon dans laquelle on s’attend à trouver des utilisations variées. On s’attend à ce que soient définis différents groupes de transformations (isométries, déplacements, similitudes, translations) et à voir résolus des problèmes géométriques par des méthodes consistant à composer des transformations. De plus, les actions de groupes sur la géométrie permettent aussi de dégager des invariants essentiels (angle, birapport, excentricité d’une conique). Les groupes d’isométries d’une figure sont incontournables.
(2015 : 183 - Utilisation des groupes en géométrie.) C'est une leçon transversale et difficile, qui peut aborder des aspects variés selon les structures algébriques présentes. D'une part un groupe de transformations permet de ramener un problème de géométrie à un problème plus simple. D'autre part, les actions de groupes sur la géométrie permettent de dégager des invariants essentiels (angle, birapport). On retrouvera encore avec bonheur les groupes d'isométries d'un solide.
(2014 : 183 - Utilisation des groupes en géométrie.) C'est une leçon transversale et difficile, qui peut aborder des aspects variés selon les structures algébriques présentes. D'une part un groupe de transformations permet de ramener un problème de géométrie à un problème plus simple. D'autre part, les actions de groupes sur la géométrie permettent de dégager des invariants essentiels (angle, birapport). On retrouvera encore avec bonheur les groupes d'isométries d'un solide.

Développements :

Plans/remarques :

2025 : Leçon 191 - Exemples d’utilisation de techniques d’algèbre en géométrie.

  • Auteur :
  • Remarque :
    Méta-plans appris pour le jour J. Fait en juin 2024 et non validé par une personne compétente.

    Version safe:
    I. Utilisation de nombres complexes
    1) Nombres complexes et plan complexe
    2) Figures géométriques dans le plan complexes
    3) Transformations du plan complexe
    4) Quaternions, les complexes de l'espace (DVT : quaternions)
    II. Groupe des isométries - Matriciel et formes quadratiques
    1) Isométries du plan
    2) Isométries de l'espace
    3) Générateurs des isométries vectorielles (DVT)
    III. Utilisation du déterminant
    1) Généralités, aire et volume
    2) Déterminant circulant et suite de polygones (DVT)

    Version plus originale centrée sur le groupe orthogonal
    I. Groupe orthogonal : isométrie du plan et de l'espace
    1) Groupe orthogonal
    2) Description de O2(R) et nombres complexes pour décrire les transformations du plans
    3) Description de O3(R)
    II. SO3(R) : décrire les transformations de l'espace à l'aide des Quaternions
    1) Quaternions
    2) DVT : quaternions
    III. Plus général : générateurs des isométries vectorielles
    1) Formes quadratiques et orthogonalité
    2) O(q) (DVT : générateurs des isométries vectorielles)
    IV. Topologie de On(R)
    1) Thm de Riesz en dim finie et dualité
    2) Convexité : thm de séparation des convexes
    3) DVT : Enveloppe convexe de On(R)



2024 : Leçon 191 - Exemples d'utilisation de techniques d'algèbre en géométrie.

  • Auteur :
  • Remarque :
    Il y a en fichiers ma version manuscrite; faite en oral blanc en 1h30. Je viens de taper le plan en tex. Leçon vaste, j'ai parlé géométrie affine, isométries, groupes d'isométries, coniques, et construction à la règle et au compas. On m'a reproché un manque d'invariant, mais à part ça, le plan est pas trop mal de ce que j'ai compris.
    Petite erreur : j'ai mis qu'il y avait 6 solides platoniciens; mais il y en a 5, dont un de multiplicité 2 ! (Le tétraèdre qui est son propre dual)
    Dans ma défense, j'ai dit qu'on allait insister sur la symbiose formée par l'algèbre et la géométrie : l'algèbre apporte bcp à la géométrie qui lui rend bien. Ca a plu.
    Quelques questions qu'ont m'a posé : beaucoup de questions sur mon développement (SO2(F_q), je suis passé avec quelqu'un à qui j'avais posé beaucoup de questions sur le thème qui était donc rodée!)
    pourquoi le groupe des homothéties translations est distingué?
    pourquoi D4 et H8 ont la même table de caractères?
    pourquoi je dis qu'il y a 6 solides platoniciens?
    Des questions sur les coniques et leurs classifications (je ne maîtrise pas très bien ce thème que je trouve difficile, et qu'on explore assez peu pendant notre scolarité, je me suis donc mis une pile là dessus et me suis forcé à en parler dans cette leçon)
    Puis des questions sur les coordonnées barycentriques : comment on les exprime? J'ai dit que c'était avec un déterminant entre les deux vecteurs qui vont bien, sauf qu'on a pas de base, alors comment on exprime notre det ? et bien on prend une base.... mais pourquoi c'est indépendant de la base? Puis on m'a fait prouver la formule (c'est un système de Cramer). Encore un truc avec lequel je ne suis pas du tout à l'aise, mais au moins cet oral a été instructif, c'était le but!
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    Je n'aime pas du tout cette leçon, mais il m'a semblé nécessaire d'au moins préparer un plan dessus, d'autant que mes deux développements s'y insèrent très bien.

    Les références sont indiquées à la fin du plan. N'hésitez pas à me contacter pour me signaler toute erreur ou imprécision.
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  • Remarque :
    ATTENTION : J'ai fait cette leçon au mois de mai, puis je me suis rapidement rendu compte que mon plan était mal articulé, j'ai donc échangé et/ou regroupé certaines sous-parties. Il faut prendre en compte le plan général que j'ai mis en page 1 du PDF, puis pour chaque sous-partie se référer à celle qui correspond dans la leçon pour y voir le contenu.
    Je suis désolé, je n'ai pas pris le temps de refaire la leçon en entier après avoir modifié le plan, mais c'est juste les mêmes choses mises dans un ordre différent !

    Cette leçon est très intéressante car elle permet vraiment de choisir ce qui nous plaît pour en faire une leçon. Elle peut effrayer mais avec un peu travail on s'en sort ! On peut piocher dans les groupes évidemment, mais aussi la géométrie affine, les coniques, et même la théorie des corps en parlant de constructibilité !
    Voir aussi la leçon de Tintin qui est très bien !
    Les tableaux proposant la classification des isométries vectorielles en dimension 2 et 3 en annexe sont bien mieux que ceux de ma leçon 161... Je recommande donc d'apprendre plutôt ceux-ci (ils sont dans le Garnier et le Combes il me semble)
    Pour les références, voir aussi le Aebischer pour les coniques.
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  • Remarque :
    Retrouvez tous nos plans de leçons ainsi que les fichiers latex associés à nos leçons sur notre site : https://sites.google.com/view/tribalchiefandwiseman/home?authuser=0
    Bonne preparation à vous !
  • Auteur :
  • Remarque :
    La plupart des mes plans sont inspirés de Ewna, Agentb0, Jouaucon, Abarrier et Marvin. Merci à eux. Attention aux coquilles ! Mes plans sont, en général, scannés juste après que j'ai finis de rédiger, bien sur quand je les ai relu j'ai trouvé des erreurs. Les références sont à la fin des plans.

    On peut dire énormément de choses sur cette leçon il faut faire des choix.
    L'idée de mon plan pour cette leçon est la suivante, on va revisiter de manière rigoureuse le géométrie depuis notre scolarité en effet :
    - Dans I on parle de géométrie à la règle et au compas (la première géométrie qu'on rencontre dans notre vie)
    - Ensuite on a mit des points sur le plan ou dans l'espace ce qui correspond à la géométrie affine (et donc mon II), on peut alors démontrer le théorème de Thalès ! Parler de symétrie etc. (Notions de collège). On parle également de vecteurs (notions de lycée). Dans le II.d) je parle d'espace affine euclidien pour qu'on puisse avoir la notion d'angle.
    - La notion d'angle sert pour le III où on étudie les isométries, notion qu'on découvre plutôt dans le supérieur et donc qui suit la "chronologie" de mon plan.
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2023 : Leçon 191 - Exemples d’utilisation de techniques d’algèbre en géométrie.

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  • Remarque :
    Voici mes plans de leçons que j'ai réalisé en format complet.
    Si cela peut aider des gens, avec plaisir !
    Tout mes plans de leçons sont inspirés majoritairement de Jouaucon, Marvin et abarrier ( Merci à eux ! ).
    Les références sont à la fin.
    Attention aux éventuels coquilles.
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  • Remarque :
    Possibilité d'avoir ma version complète manuscrite en me contactant par mail.
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2022 : Leçon 191 - Exemples d'utilisation des techniques d'algèbre en géométrie.


2020 : Leçon 191 - Exemples d’utilisation des techniques d’algèbre en géométrie.


2019 : Leçon 183 - Utilisation des groupes en géométrie.


2017 : Leçon 183 - Utilisation des groupes en géométrie.


2016 : Leçon 183 - Utilisation des groupes en géométrie.


2015 : Leçon 183 - Utilisation des groupes en géométrie.


Retours d'oraux :

Pas de retours pour cette leçon.

Références utilisées dans les versions de cette leçon :

Algèbre et géométries, Boyer (utilisée dans 3 versions au total)
Géométrie, Audin (utilisée dans 34 versions au total)
Nouvelles histoires hédonistes de groupes et géométrie, tome 2, Philippe Caldero et Jérôme Germoni (utilisée dans 37 versions au total)
Théorie des corps , Carréga (utilisée dans 23 versions au total)
Théorie des Groupes, Félix Ulmer (utilisée dans 51 versions au total)
Cours d'algèbre , Perrin (utilisée dans 433 versions au total)
Algèbre , Gourdon (utilisée dans 333 versions au total)
Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie, Jean Etienne Rombaldi (utilisée dans 493 versions au total)
Oraux X-ENS Algèbre 3 , Francinou, Gianella, Nicolas (utilisée dans 74 versions au total)
Cours de calcul formel. Corps finis, systèmes polynomiaux, applications , Philippe Saux Picart, Eric Rannou (utilisée dans 6 versions au total)
Objectif Agrégation, Beck, Malick, Peyré (utilisée dans 292 versions au total)
Histoires hédonistes de groupes et géométries, Tome 1, Caldero, Germoni (utilisée dans 120 versions au total)
Algèbre et probabilités, Gourdon (utilisée dans 77 versions au total)
Géométrie , Ladegaillerie (utilisée dans 8 versions au total)
Manuel de Mathématiques volume 4, Debeaumarché (utilisée dans 3 versions au total)
Théorie de Galois : Niveau L3-M1, Ivan Gozard (utilisée dans 10 versions au total)
Tout-en-un MPSI, Claude Deschamps (utilisée dans 23 versions au total)
Algèbre : le grand combat: Cours et exercices, Grégory Berhuy (utilisée dans 114 versions au total)
Théorie des groupes (bis), Delcourt (utilisée dans 10 versions au total)
Algèbre et géométrie , Combes (utilisée dans 40 versions au total)
Carnet de voyage en Algébrie, Philippe Caldero, Marie Peronnier (utilisée dans 108 versions au total)
Géométrie analytique classique , Eiden (utilisée dans 17 versions au total)
Algèbre L3 , Szpirglas (utilisée dans 45 versions au total)
Algèbre linéaire , Grifone (utilisée dans 97 versions au total)
L'oral à l'agrégation de mathématiques - Une sélection de développements , Isenmann, Pecatte (utilisée dans 144 versions au total)
Cours de Mathématiques - 1 Algèbre, Arnaudiès - Fraysse (utilisée dans 15 versions au total)
Théorie de Galois, Gozard (utilisée dans 35 versions au total)
Cours de mathématiques, Tome 4 : Algèbre bilinéaire et géométrie, Arnaudiès, Fraysse (utilisée dans 2 versions au total)
Géométrie Projective, Pierre Samuel (utilisée dans 1 versions au total)
Géométrie algébrique , Perrin (utilisée dans 2 versions au total)
Cours de géométrie, Dany-Jack Mercier (utilisée dans 10 versions au total)
Petit guide de calcul différentiel , Rouvière (utilisée dans 224 versions au total)