Proba sur GL_2(F_q)

En espérant qu’il ne reste pas de coquille !

Densité des fonctions tests + Riemann Lebesgue

Les rapports du jury laissent penser qu’on peut se restreindre à R mais la preuve reste très similaire, à vous de voir. J’ai donc fais une preuve adaptée à la droite réelle en fin de doc

Riemann-Lebesgue, Noyau de Dirichlet et principe de localisation

La fin de l’application est un peu technique (c’est rare qu’El Amrani n’explique pas tout tout mais bon ça se retrouve bien une fois qu’on a trouvé :))

Point de Fermat d'un triangle

J’ajoute ma version au site car je ne fais pas exactement la même chose que les autres. Je m’inspire aussi parfois des autres documents du site (merci à tous ceux qui sont passés avant moi!) mais surtout j’ai essayé de tout tout tout expliquer en permanence car ce dev n’est vraiment pas simple au début.

Au final, je l’adore et je l’ai fais en oral blanc : tout s’est très bien passé. :)

(Bon sur un document de 4 pages vous vous doutez bien qu’il y a peut être quelques coquilles minimes…)

Théorème d’inversion locale en dimension finie

Je justifie le recasage en 206 en fin de document. Je démontre aussi la réécriture de l’énoncer en fin de document (ce que Gourdon se garde bien de justifier).

Le document a été vérifié par un professeur, ainsi que les recasages, mais il reste peut être des petites coquilles

Théorème de Sophie-Germain

J’ai essayé de vraiment tout expliquer en permanence pour que ce développement soit compréhensible dès la première lecture.

Mettons en valeur les travaux de Sophie Germain !

Recasages : 120 - 121 -142 (les recasages sur agreg maths sont vraiment farfelues parfois)

Irréductibilité des polynômes cyclotomiques sur Q[X]

J’adore ce développement, clairement mon préféré ! Le Gozard contourne magnifiquement la division euclidienne dans Z[X] qui peut exister sous certaines conditions, c’est parfait pour ceux qui ne sont pas à l’aise sur ce sujet !

Recasages : 102 - 122 - 141 - (125)

Pour la 125, je peux comprendre le recasage, surtout qu’on peut parler d’extensions Cyclotomiques juste après mais bon… il y a la réduction des Cyclotomiques dans Fp qui me semble bien plus pertinente. Idem pour les leçons 120, 121 et 144 : oui il y a un lien, mais l’étude des polynômes Cyclotomiques dans Fp semble bien plus approprié (le carnet de voyage en Algebrie propose ce développement d’ailleurs).

Heine + Weierstrass (avec Bernstein)

Bien avoir en tête la remarque et l’exercice proposés en fin de document

Après réflexion, le recasage en 266 est complètement superficiel : on est même pas obligé d’introduire les X_i

Théorème de Radon Nikodym

Développement inspiré de Maurer, merci à lui pour les travaux !

Malgré tout, j’ai pas mal modifié la preuve en mettant un lemme au début qui permet d’aller bien plus vite après (lemme sans référence mais très simple à retenir et facile à démonter).

Théorème de Cauchy-Lipschitz linéaire

Une bonne solution pour les gens qui comme moi n’aiment pas les EDO mais ne souhaitent pas faire l’impasse sur la 221, ce dev ne demandant aucun prérequis en équation différentielle !

N’aimant pas ça, évidement si je dois faire une leçon dessus au final, je me restreindrait au cas réel, d’où le fait que je ne considère pas K un corps mais directement R (et je vois pas le soucis à faire ça franchement).

Cependant, si vous souhaitez une preuve avec K, mieux vaut faire un mélange du Bernis et du Berthelin.

Recasages : 205 et 221. Je n’ai jamais compris le recasage en 206, ni le rapport du jury. Il est où l’argument de dimension finie ici ? Oui il y a des conséquences de dimension finie à ce théorème, mais présenté ainsi il n’a aucunement sa place en développement dans la leçon. Pareil pour la 220, cette leçon est là pour illustrer la théorie des EDO, mais surtout cette leçon doit se focaliser sur le cas non linéaire comme le dit explicitement le rapport du jury. Comment on motive ce développement dans ces conditions ?

Calcul de l'intégrale de Gauss par une équation différentielle

En espérant qu’il ne reste pas de coquille !

Recasages : 221 - 234 - 235 - -236 - 239

Pour le recasage en 220, je ne suis d’accord que si votre second dev est dans le cadre des EDO non linéaires. Si ce n’est pas le cas, vous serez hors sujet (cf rapport du jury).

Pour la 235, le recasage me semble évident bien qu’il ne soit pas précisé ici.
Pour la 234, c’est parce qu’on a une fonction Lebesgue-integrable sur R+ et surtout on utilise le TCD, la continuité/derivabilite sous signe intégrale. Bref, que des théorèmes qui doivent apparaître dans le plan (et comme ça, on étudie une fonction Lebesgue-integrable puis on peut parler des espaces L^p dans l’autre dev pour une partie plus théorique).

Développement asymptotique de la série harmonique

Détestable

Recasages : 223 - 224 - 230

Analyticité des fonctions holomorphes

Je fais la démonstration de l’analycite des fonctions holomorphes, puis je fais les estimées de Cauchy, j’en déduis le théorème de Liouville puis enfin on conclut avec d’Alembert Gauss.

Je pense que tout est bien en 15 minutes mais si c’est trop long, on explique d’Alembert Gauss à l’oral.

Recasages : 201 - 241 - 243 - 245

J’indique le Rudin comme référence mais clairement je déteste ce livre et je ne m’en suis pratiquement pas servis. Il m’est utile seulement pour les énoncés de théorème. Ma référence pour les preuves est le nouveau livre d’analyse de Rombaldi qui n’est pas dispo sur maths agreg.

Note supplémentaire : assurez vous de bien comprendre pourquoi si une série entière admet un rayon de convergence R>0, alors sa somme f est une fonction analytique sur D(0,R) ! C’est très bien démontré dans le Tauvel page 50-51 (hormis le fait qu’après son « il vient » il fait 2 erreurs de notation mais que l’on détecte directement en faisant la preuve)

Théorème d’inversion locale, théorème des fonctions implicites. Illustrations en analyse et en géométrie.

C’est simple, je me suis fixé un objectif : rendre cette leçon la plus accessible possible. N’étant moi même pas forcément excellent dans le domaine, je l’ai préparé avec un encadrant durant l’année et, au final, je l’aime plutôt bien à présent.

Je ne parle pas de sous variété (ou plutôt je n’évoque pas ce mot) et je touche à peine du doigt les extremas liés. Malgré tout, je pense que le nombre d’aspects géométriques présentés est suffisant ! (En tout cas, c’est notre avis avec mon encadrant).

Je définis aussi les vecteurs tangents afin d’avoir une explication géométrique des extremas liés.

En espérant que ce plan vous aide à ne potentiellement pas faire l’impasse sur cette leçon !

(J’ai aussi utilisé le nouveau livre d’analyse de Rombaldi, je ne l’ai pas trouvé sur le site mais le nom du livre est en fin de document, je recommande à toutes les BU de le commander il est très bien écrit je trouve)

Exemples d’utilisation de techniques d’algèbre en géométrie.

Leçon sur laquelle je suis passé en oral blanc et que j’ai vraiment aimé préparé !

J’opte pour 3 parties : une sur les espaces euclidiens, que je mets en lien dans une partie 2 avec les nombres de module 1/racines de l’unité et une 3ème partie utilisant des outils présentés tout au long de la leçon avec la théorie des nombres constructibles.

Le plan a été validé par le prof et est vraiment facile à faire : on peut presque tout faire en suivant le Audin puis le Carrega ! Les autres références ne sont là que pour 1 def ou 1 remarque (ou 1 dev).

ATTENTION : Ma dernière figure est fausse, j’ai fait une erreur dans la construction à cause de la précipitation.

Il manque juste le Isenmann en réf pour la partie déterminant circulant.