(2024 : 204 - Connexité. Exemples d'applications.)
Dans cette leçon, une fois les propriétés élémentaires présentées, il convient de mettre en évidence à travers un choix judicieux, non nécessairement exhaustif, d'applications le fait que la connexité formalise l'idée d'espace "d'un seul tenant", que la connexité par arcs permet d'illustrer géométriquement. Du point de vue opérationnel, les deux idées maîtresses sont la préservation de la connexité par image continue, et l'utilisation de la connexité pour passer du local au global. La seconde est abondamment illustrée dans le domaine du calcul différentiel, des équations différentielles non linéaires (passage d'une unicité locale à une unicité globale), des fonctions holomorphes (principe du prolongement analytique ou du maximum). En cas de non-connexité, la notion pertinente est celle de composante connexe, dont une première application est la structure des ouverts de R, et leur mesure. Les exemples issus de l'algèbre linéaire sont bien entendu les bienvenus, à condition de ne pas trop détourner la leçon... Pour les candidates et candidats solides, de bons prolongements sont le théorème de Runge, l'ensemble triadique de Cantor comme prototype d'espace métrique compact, parfait et totalement discontinu, la notion de simple connexité.
229 : Fonctions monotones. Fonctions convexes. Exemples et applications.
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
Sur le développement :
Je n'étais pas très à l'aise pendant le développement, le stress m'empêchait sans doute d'être réellement convaincant.
J'avais remplacé une inégalité large par une inégalité stricte, une jury m'a demandé de corriger. Ensuite un jury m'a demandé de montrer que ce que j'utilisais dans mon développement était bien une norme ; ce que j'ai du faire en entier malgré la facilité de la vérification. Je pense que c'est à cause de l'image peu assurée que j'ai donné pendant mon développement. J'ai ensuite dû donner la définition d'une forme quadratique.
Sur le plan :
- démontrer l'équivalence entre un E = O1 union O2 où O1 et O2 sont des ouverts disjoints et E = F1 union F2 où F1 et F2 sont des fermés disjoints
- démontrer la caractérisation de la connexité par les fonctions à valeurs dans {0,1}
- je n'avais pas écrit la condition de continuité dans le théorème des valeurs intermédiaires, j'ai du compléter l'énoncé
- démontrer le théorème de Darboux : j'avais la démonstration dans mes notes, je leur ai dit, mais la prof qui m'a posé la question m'a demandé ce que je pouvais dire sans regarder ; j'ai donné les grandes lignes sans trop me convaincre, ça a eu l'air de lui suffire et on est passé à autre chose
Exercice :
Un seul exercice pour la fin, j'avais une fonction f : R^n -> R^n C1 telle qu'il existe un k >0 tel que pour tout x,y, ||x-y|| < k*||f(x)-f(y)||, et je devais montrer que c'était un C1-difféomorphisme.
J'ai rapidement pensé au théorème d'inversion globale, j'ai donc dit que je voulais l'utiliser ; j'ai ensuite remarqué que l'hypothèse implique que f est injective ; pour montrer la surjectivité j'ai montré que l'image de f était un ouvert-fermé (fermé par caractérisation séquentielle, ouvert grace au théorème d'inversion locale) ; comme il ne restait pratiquement plus de temps, une des membres du jury m'a demandé les hypothèses du théorème d'inversion globale, et de justifier pourquoi il fallait bien montrer que f était bijective.
Souriant, assez peu aidant, je réfléchissais parfois un peu à voix haute, mais peu d'intervention de leur part ; que ça soit pour me dire que je disais des bêtises ou que je partais bien. Au final, je pense que ça m'a servi, étant donné que j'ai malgré cela pu répondre à toutes leurs questions.
On a eu un peu moins de 3h de préparation ; quelques minutes de moins.
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215 : Applications différentiables définies sur un ouvert de R^n. Exemples et applications.
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
Développements proposés :
- Prolongement analytique et existence des points singuliers au bord du disque de convergence d’une série entière
- GLn(C) est dense ouvert connexe de Mn(C)
Ils ont choisi le premier.
Questions :
-prouver le corollaire du prolongement analytique qu’on utilise tout le temps, bon malheureusement j’ai eu du mal à cette première question bêtement ...
- questions rapides sur le développement
- Connaissez vous le développement en série entière de Tangente en 0 ? Non mais je connais les premiers termes et je sais que la formule générale fait intervenir les nombres de Bernoulli
- vous pouvez majorer le rayon de convergence de la série entière en 0 de tangente ?
Oui par pi/2 en voyant tan(z) = sin(z)/cos(z) et cos(z) s’annule pas dans le disque D(0,pi/2)
- et on pourrait montrer que c’est égal à pi/2 ?
Oui en fait la limite de tangente en pi/2 c’est l’infini donc en pi/2 c’est pas défini donc le rayon peut pas être strictement plus grand
- vous avez dit que Gln(R) était non connexe, pouvez vous citer des espaces de matrices qui seraient connexes (hors Gln(C)) ?
Oui SLn(C) est connexe par arcs ça se montre avec les transvections et je sais que SLn(R) est connexe mais je sais pas le montrer
- Et On(R) ?
C’est pas connexe parce qu’il a deux composantes connexes On+ et On-
- Montrer alors que O2+ est connexe
On va montrer connexe par arcs, déjà O2+ c’est des matrices de rotations et donc on va montrer qu’on peut relier chaque matrice à l’identité : il faut prendre theta*t au lieu de theta dans l’expression de la matrice et c’est ok le chemin convient
- Ensuite ils m’ont fait retrouver un théorème pour avoir l’implication entre f’ = 0 et f est constante. D’abord ils m’ont fait poser f : [0,1] dans R une fonction quelconque dérivable sur I = [0,(1/2)[ U ](1/2),1] et telle que f’ = 0 sur I.
J’ai dit une bourde en disant que je pensais que f était constante sur I mais en fait ils m’on invité à faire un dessin et j’ai vite corrigé mon erreur en prenant une fonction qui valait 1 sur [0,(1/2)[ et qui vaut -1 sur ](1/2),1] et qui vérifie les hypothèses alors qu’elle n’est pas constante.
Ensuite ils m’ont donc demandé qu’est ce qu’il manque pour avoir f constante et j’ai dit il faut que I soit un intervalle ils ont eu l’air de dire oui et m’ont fait écrire l’énoncé du théorème.
- Ils m’ont demandé de généraliser le résultat dans R^2 : j’ai donc dit que dérivable devenait différentiable, « f’ = 0 » devient « les dérivées partielles sont nulles » et « I intervalle » devient « I est connexe » et ça a l’air de les avoir convaincu
- Ensuite j’avais mis le théorème des valeurs intermédiaires dans mon plan sans dire le nom et je l’avais cité pour un espace métrique quelconque, on m’a demandé ce que ça donnait dans R muni de la distance usuelle j’ai dit que c’était le TVI et ils ont dit oui (bizarre comme question surtout que c’était vers la fin)
- Pour finir on m’a fait poser f : R dans R une fonction croissante et I un intervalle de R. J’ai du montrer que l’image réciproque de I par f était un intervalle.
Ils m’ont suggéré de montrer que f^(-1)(I) était convexe, ce qui se fait bien car f est croissante.
J’ai terminé là dessus
Souriant, un des membres hochait souvent la tête, ce qui met en confiance.
Il aidait quand il fallait.
Aucune surprise.
12.25