Leçon 264 : Variables aléatoires discrètes. Exemples et applications.

(2025) 264

Dernier rapport du Jury :

(2024 : 264 - Variables aléatoires discrètes. Exemples et applications.) Le jury attend des candidates et candidats qu'ils rappellent la définition d'une variable aléatoire discrète et que des lois usuelles du programme soient présentées, ainsi que leurs liens éventuels. Il est important de proposer quelques exemples de modélisation faisant intervenir ces lois. Les techniques spécifiques aux variables discrètes, notamment à valeurs entières (caractérisation de la convergence en loi, notion de fonction génératrice) doivent être mises en évidence et illustrées par des exemples variés. La marche aléatoire symétrique sur Z ou le processus de Galton-Watson fournissent des exemples riches. Les candidates et candidats solides peuvent aborder la loi du logarithme itéré (par exemple dans le cas de la marche aléatoire symétrique), les chaînes de Markov, les processus de Poisson.

(2022 : 264 - Variables aléatoires discrètes. Exemples et applications.) Les techniques spécifiques aux variables discrètes, notamment à valeurs entières (caractérisation de la convergence en loi, notion de fonction génératrice) devront être mises en évidence et illustrées par des exemples variés. La marche aléatoire symétrique sur Z ou le processus de Galton-Watson fournissent des exemples à la fois élémentaires et riches. Les candidats aguerris pourront aborder la loi du logarithme itéré (par exemple dans le cas de la marche aléatoire symétrique), les chaînes de Markov, les processus de Poisson.
(2019 : 264 - Variables aléatoires discrètes. Exemples et applications.) Le jury attend des candidats qu’ils rappellent la définition d’une variable aléatoire discrète et que des lois usuelles soient présentées, en lien avec des exemples classiques de modélisation. Le lien entre variables aléatoires de Bernoulli, binomiale et de Poisson doit être discuté. Il peut être d’ailleurs intéressant de mettre en avant le rôle central joué par les variables aléatoires de Bernoulli. Les techniques spécifiques aux variables discrètes, notamment à valeurs entières, devront être mises en évidence, comme par exemple la caractérisation de la convergence en loi, la notion de fonction génératrice. $\\$ Pour aller plus loin, le processus de Galton-Watson peut se traiter intégralement à l’aide des fonctions génératrices et cette voie a été choisie par plusieurs candidats : cela donne un développement de très bon niveau pour ceux qui savent justifier les étapes délicates. $\\$ Pour aller beaucoup plus loin, les candidats pourront étudier les marches aléatoires, les chaînes de Markov à espaces d’états finis ou dénombrables, les sommes ou séries de variables aléatoires indépendantes.
(2017 : 264 - Variables aléatoires discrètes. Exemples et applications.) Le jury attend des candidats qu’ils rappellent la définition d’une variable aléatoire discrète et que des lois usuelles soient présentées, en lien avec des exemples classiques de modélisation. Le lien entre variables aléatoires de Bernoulli, binomiale et de Poisson doit être discuté. Il peut être d’ailleurs intéressant de mettre en avant le rôle central joué par les variables aléatoires de Bernoulli. Les techniques spécifiques aux variables discrètes, notamment à valeurs entières, devront être mises en évidence, comme par exemple la caractérisation de la convergence en loi, la notion de fonction génératrice. Pour aller plus loin, le processus de Galton-Watson peut se traiter intégralement à l’aide des fonctions génératrices et cette voie a été choisie par plusieurs candidats : cela donne un développement de très bon niveau pour ceux qui savent justifier les étapes délicates. Pour aller beaucoup plus loin, les candidats pourront étudier les marches aléatoires, les chaînes de Markov à espaces d’états finis ou dénombrables, les sommes ou séries de variables aléatoires indépendantes.
(2016 : 264 - Variables aléatoires discrètes. Exemples et applications. ) Le jury attend des candidats qu’ils rappellent la définition d’une variable aléatoire discrète et que des lois usuelles soient présentées, en lien avec des exemples classiques de modélisation. Le lien entre variables aléatoires de Bernoulli, binômiale et de Poisson doit être discuté. Il peut être d’ailleurs intéressant de mettre en avant le rôle central joué par les variables aléatoires de Bernoulli. Les techniques spécifiques aux variables discrètes, notamment à valeurs entières, devront être mises en évidence, comme par exemple la caractérisation de la convergence en loi. Pour aller plus loin, la notion de fonction génératrice pourra être abordée. Le processus de Galton-Watson peut se traiter intégralement par fonctions génératrices et cette voie a été choisie par plusieurs candidats : cela donne un développement de très bon niveau pour ceux qui savent justifier les étapes délicates. Pour aller beaucoup plus loin, les candidats pourront étudier les marches aléatoires, les chaînes de Markov à espaces d’états finis ou dénombrables, les sommes ou séries de variables aléatoires indépendantes.
(2015 : 264 - Variables aléatoires discrètes. Exemples et applications.) Le jury attend des candidats qu'ils rappellent la définition d'une variable aléatoire discrète et que des lois usuelles soient présentées, en lien avec des exemples classiques de modélisation. Le lien entre variables aléatoires de Bernoulli, binômiale et de Poisson doit être discuté. Les techniques spécifiques aux variables discrètes devront être abordées (comme par exemple la caractérisation de la convergence en loi). La notion de fonction génératrice pourra être abordée. Pour aller plus loin, les candidats ambitieux pourront étudier les chaînes de Markov à espaces d'états finis ou dénombrables.
(2014 : 264 - Variables aléatoires discrètes. Exemples et applications.) Le jury attend des candidats qu'ils rappellent la définition d'une variable aléatoire discrète et que des lois usuelles soient présentées, en lien avec des exemples classiques de modélisation. Les techniques spécifiques aux variables discrètes devront être abordées (comme par exemple la caractérisation de la convergence en loi). La notion de fonction génératrice pourra être abordée. Pour aller plus loin, certains candidats pourront étudier les chaînes de Markov à espaces d'états finis ou dénombrables.

Développements :

Plans/remarques :

2026 : Leçon 264 - Variables aléatoires discrètes. Exemples et applications.

  • Auteur :
  • Remarque :
    Mes plans sont très inspirés de Mr Syndrome( Mercii à lui !!)
    Désolée pour les fautes s'il y en a.
    bon courage :)
  • Fichier :

2025 : Leçon 264 - Variables aléatoires discrètes. Exemples et applications.

  • Auteur :
  • Remarque :
    Méta-plan appris pour le jour J. Fait en juin 2024 et non validé par une personne compétente :

    I. Va discrètes
    1) Définitions
    2) Espérance et variance
    3) Fonction génératrice
    4) Lois usuelles
    II. Particularité des va discrètes
    1) Moments
    2) Indépendance (DVT : Zêta)
    III. Convergence et thm limite
    1) Loi des grands nombre et TCL
    2) Convergence loi binomiale et poisson (DVT)
  • Auteur :
  • Remarque :
    Plans faits pendant l'année à 3. Pas toujours vérifiés ni forcément aboutis. N'étaient pas faits pour être partagés donc il y a des commentaires/remarques personnelles que vous ne comprendrez sûrement pas ! En espérant que le métaplan puisse tout de même aider !
  • Fichier :
  • Auteur :
  • Remarque :
    La plupart des mes plans sont inspirés de Ewna, Agentb0, Jouaucon, Abarrier et Marvin. Merci à eux. Attention aux coquilles ! Mes plans sont, en général, scannés juste après que j'ai finis de rédiger, bien sur quand je les ai relu j'ai trouvé des erreurs. Les références sont à la fin des plans.

    (Plan semi détaillé)

    Merci Walter Appel pour ton livre <3
  • Fichier :

2024 : Leçon 264 - Variables aléatoires discrètes. Exemples et applications.

  • Auteur :
  • Remarque :
    La nouvelle version du Gourdon est super utile pour agrémenter cette leçon.

    Les références sont indiquées à la fin du plan. N'hésitez pas à me contacter pour me signaler toute erreur ou imprécision.
  • Fichier :
  • Auteur :
  • Remarque :
    Retrouvez tous nos plans de leçons ainsi que les fichiers latex associés à nos leçons sur notre site : https://sites.google.com/view/tribalchiefandwiseman/home?authuser=0
    Bonne preparation à vous !
  • Auteur :
  • Remarque :
    Il y a de bonnes références pour les probabilités, le Chabanol par exemple, même s'il n'y a pas toutes les démonstrations.
    La difficulté des leçons de probabilités est qu'elles se ressemblent toutes plus ou moins, mais il faut pour chacune d'elles orienter le plan de façon à insister sur la notion mentionnée par le titre.
    Ici, il faut rester au maximum dans le cadre discret, parler de moments (espérance, variance), de formule du transfert... Savoir utiliser les différentes formules, les inégalités, ne pas oublier les fonctions génératrices.
    Cette leçon me faisait très peur, car étant une leçon de probas "type Sup-Spé", le jury peut poser des exos sur des urnes et des boules et je ne sais quoi avec lesquels je ne suis pas du tout à l'aise... Heureusement que je ne l'ai pas eue dans mon tirage !
    Le DEV1 est dans le Queffelec-Queffelec d'analyse complexe mais les amis qui m'avaient filé ce DEV avaient un peu remanié la preuve : voir ma version du DEV
    Le DEV2 Galton-Watson se trouve dans le Delmas, Modèles aléatoires que je ne trouve pas sur le site.
  • Références :
  • Fichier :

2023 : Leçon 264 - Variables aléatoires discrètes. Exemples et applications.

  • Auteur :
  • Remarque :
    Voici mes plans de leçons que j'ai réalisé en format complet.
    Si cela peut aider des gens, avec plaisir !
    Tout mes plans de leçons sont inspirés majoritairement de Jouaucon, Marvin et abarrier ( Merci à eux ! ).
    Les références sont à la fin.
    Attention aux éventuels coquilles.
  • Fichier :
  • Auteur :
  • Remarque :
    Possibilité d'avoir ma version complète manuscrite en me contactant par mail.
  • Fichier :

2022 : Leçon 264 - Variables aléatoires discrètes. Exemples et applications.


2020 : Leçon 264 - Variables aléatoires discrètes. Exemples et applications.


2019 : Leçon 264 - Variables aléatoires discrètes. Exemples et applications.


2018 : Leçon 264 - Variables aléatoires discrètes. Exemples et applications.


2017 : Leçon 264 - Variables aléatoires discrètes. Exemples et applications.


2016 : Leçon 264 - Variables aléatoires discrètes. Exemples et applications.


Retours d'oraux :

2016 : Leçon 264 - Variables aléatoires discrètes. Exemples et applications.

  • Leçon choisie :

    264 : Variables aléatoires discrètes. Exemples et applications.

  • Autre leçon :

    214 : Théorème d'inversion locale, théorème des fonctions implicites. Exemples et applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Pas de réponse fournie.

  • Autre(s) développement(s) proposé(s) :

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Le développement que j'ai choisi est la ruine de joueur. Je me suis emmêlé les pinceaux à un endroit dans une erreur de calcul. J'ai admis une partie du résultat pour avoir le temps de faire la suite. A la fin du développement, le jury m'a demandé de corriger rapidement mon erreur d'étourderie, ce que j'ai fait en prenant un peu de recul sur le tableau.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Un membre du jury ne devait pas aimer les probas car n'a pas parlé. Les deux autres ont posé pas mal de questions et des exercices. On m'a demandé de démontrer le résultat du développement de Poissonisation (évènements rares) avec des indications. Je pense avoir mené une bonne démarche en traitant un cas particulier plus facile pour en déduire le cas général mais ai buggé dans la formule de Taylor-Lagrange avec reste intégral à l'ordre 2 ce qui je crois a beaucoup déplu au jury ... Il faut surtout ne pas dire de bêtises sur des choses de bases du programme de prépa !!!

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Pas de réponse fournie.

  • Note obtenue :

    Pas de réponse fournie.


Références utilisées dans les versions de cette leçon :

Probabilités 1 , Ouvrard (utilisée dans 16 versions au total)
Probabilités 2 , Ouvrard (utilisée dans 59 versions au total)
Mathématiques pour l'agrégation, Analyse et probabilités, Jean-Étienne Rombaldi (utilisée dans 22 versions au total)
De l'intégration aux probabilités, Garet, Kurtzman (utilisée dans 165 versions au total)
Probabilités et statistiques pour l'épreuvre de modélisation à l'agrégation de mathématiques, Chabanol, Ruch (utilisée dans 84 versions au total)
Analyse , Gourdon (utilisée dans 794 versions au total)
ORAUX X-ENS 6 (nouvelle édition), Francinou, Gianella, Nicolas (utilisée dans 21 versions au total)
Mathématiques pour l'agrégation externe Probabilités, Walter Appel (utilisée dans 20 versions au total)
Analyse pour l'agrégation, Queffelec, Zuily (utilisée dans 262 versions au total)
Analyse complexe et applications, Martine Queffélec, Hervé Queffélec (utilisée dans 57 versions au total)
131 Développements pour l’oral, D. Lesesvre, P. Montagnon, P. Le Barbenchon, T. Pierron (utilisée dans 110 versions au total)
Probabilités, Barbe-Ledoux (utilisée dans 43 versions au total)
Thèmes de probabilités et statistique , Toulouse (utilisée dans 4 versions au total)
Algèbre linéaire réduction des endomorphismes, R. Mansuy, R. Mneimné (utilisée dans 117 versions au total)
Probabilités pour les non-probabilistes, Walter Appel (utilisée dans 51 versions au total)
Algèbre et probabilités, Gourdon (utilisée dans 178 versions au total)
Suites et séries numériques, suites et séries de fonctions, El Amrani (utilisée dans 156 versions au total)
Algèbre , Gourdon (utilisée dans 397 versions au total)
Exercices de probabilités, M. Cottrell, V. Genon-Catalot, C.Duhamel et T. Meyre (utilisée dans 18 versions au total)
Tout-en-un MP/MP*, Claude Deschamps (utilisée dans 40 versions au total)
Algèbre : le grand combat: Cours et exercices, Grégory Berhuy (utilisée dans 197 versions au total)
Carnet de voyage en Analystan, Caldero (utilisée dans 43 versions au total)
Exercices de mathématiques, Dugardin, Rezzouk (utilisée dans 9 versions au total)
Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, Julien Bernis et Laurent Bernis (utilisée dans 175 versions au total)
Leçons pour l’agrégation de mathématiques - Préparation à l’oral, Dreveton, Maximilien & Lhabouz, Joachim (utilisée dans 20 versions au total)