Profil de Elouan Renault

Informations :

Inscrit le :
12/06/2025
Dernière connexion :
04/08/2025
Inscrit à l'agrégation :
2024, option B
Résultat :
Admis, classé(e) 103ème

Ses versions de développements :

  • Développement :
  • Remarque :
    Développement à la fois trop technique et trop long pour mon niveau. J’ai finalement renoncé à le présenter pour ces raisons. Bien qu’il puisse être exposé dans de nombreuses leçons, les autres développements que je propose pour ces leçons sont, à mon avis, bien plus accessibles.
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  • Développement :
  • Remarque :
    Étant donné l’importance de ces résultats dans l’étude des corps finis, je pense qu’il est préférable de savoir les prouver (ou du moins avoir une idée de preuve). Cela est d’autant plus important si vous souhaitez présenter le dénombrement des polynômes irréductibles unitaires sur un corps fini, puisque ce dernier utilise ce théorème. Et quitte à savoir le prouver, autant en faire un développement. D’autre part, comme c’est souvent le cas en théorie des corps, il vaut mieux perdre en rigueur au profit d’une rédaction plus lisible. C’est pourquoi on identifie tous les corps de cardinal $p$ sous la notation $\mathbb{F}_p$. Toutefois, gardez bien en tête qu’il s’agit d’un abus de notation.
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  • Remarque :
    C’est un développement très (trop ?) classique. Mais il n’est pas nécessaire d’être original pour être admis au concours, donc ce n’est pas un inconvénient majeur. De mon point de vue, c’est un bon choix de développement, puisqu’il est accessible et rentre dans de nombreuses leçons. De plus, la décomposition de Dunford figure sur le programme du concours. Pour la leçon n°155 (sur l’exponentielle de matrices), il vaut mieux admettre le lemme 1 pour avoir le temps de prouver le théorème 3 et l’application 4. Pour les autres leçons, on peut seulement prouver le lemme 1 et le théorème 2.
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  • Remarque :
    Pour être tout à fait honnête, je n’avais pas eu le temps de bien préparer ce développement, car je l’ai choisi assez tardivement. Je pense que c’est un développement très (trop ?) long, qui utilise beaucoup de résultats, dont un qui est hors-programme me semble-t-il (le théorème de Carathéodory). C’est un développement qui vous demandera probablement beaucoup de temps de préparation, mais ce temps peut être rentabilisé par le nombre important de leçons dans lesquelles rentre ce développement. Mais si ce développement vous semble trop difficile, n’hésitez pas à l’abandonner.
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  • Remarque :
    Je pense qu’il vaut mieux présenter un seul des deux lemmes en fonction de la leçon présentée. Si vous présentez la leçon 148, choisissez plutôt le lemme 2. Sinon, choisissez plutôt le lemme 1. Vous pouvez aussi ne prouver que le théorème, si vous préférez avoir plus de temps pour le présenter. Par ailleurs, ce développement est assez facile et se recase dans de nombreuses leçons. Je le recommande. De plus, ce dernier possède l’immense avantage de mêler algèbre et géométrie, et vous offre l’opportunité de dessiner, ce qui sera apprécié par le jury.
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    Pour être tout à fait honnête, je l'avais présenté en oral blanc et j'avais complètement foiré la fin. Je ne le maîtrisais pas encore suffisamment bien, et j'avais écrit $\mathrm{Tr}((AB^{-1})^j) = (\mathrm{Tr}(AB^{-1}))^j$, ce qui donnait ensuite :
    \begin{equation*}
    \mathrm{Tr}((AB^{-1}-I_n)^k) = \sum_{j=0}^{n} \binom{k}{j} (-1)^{k-j} n^j
    \end{equation*}
    m'empêchant donc de conclure. Or, l'égalité $\mathrm{Tr}((AB^{-1})^j) = (\mathrm{Tr}(AB^{-1}))^j$ est fausse a priori (la trace n'est pas multiplicative). Par exemple, si $A=B=I_n$ alors $\mathrm{Tr}((AB^{-1})^j) = \mathrm{Tr}(I_n) = n$ et $(\mathrm{Tr}(AB^{-1}))^j = (\mathrm{Tr}(I_n))^j = n^j$. Malgré cette mésaventure, j'apprécie ce développement, qui se comprend et se retient facilement, et peut être présenté dans plusieurs leçons. Je le recommande.
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  • Remarque :
    Pour être tout à fait honnête, je n'avais pas eu le temps de bien préparer ce développement, car je l'avais choisi tardivement, sous les recommandations d'un ami (coucou Max). La preuve du théorème de Cauchy étant assez courte, j'ai choisi de rajouter la classification des groupes d'ordre $6$. Lors de l'exposé, n'écrivez pas tous les calculs ainsi que la table de multiplication de $G$. Montrez seulement les égalités $aba = b^{-1}$, $ab = bab^{-1}$ et $ba = b^{-1} a b$, puis expliquez que ces dernières permettent d'obtenir la table de multiplication de $G$, puis de conclure que $G$ est isomorphe à $\mathfrak{S}_3$. Je pense que c'est un bon choix de développement.
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  • Remarque :
    Je ne vais pas passer par quatre chemins : c’est mon deuxième développement préféré. Il est technique, mais se comprend et se retient bien. De plus, il possède l’immense avantage de mêler arithmétique, algèbre et géométrie, et vous offre l’opportunité de dessiner, ce qui sera apprécié par le jury.
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  • Remarque :
    Ce développement contient trop d’items. Cette preuve du théorème spectral étant trop courte, elle ne peut pas faire seule l’objet d’un développement. Il est inutile de démontrer le corollaire 4, la preuve ne présente pas de difficulté particulière. Pour être tout à fait honnête, je ne l’ai pas vraiment testé. Je pensais présenter les lemmes 1 et 2, les théorèmes 3 et 5, et le corollaire 6. À noter qu’il peut se présenter dans de nombreuses leçons. De plus, le théorème spectral figure sur le programme du concours.
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    Développement technique, exploitant de nombreux théorèmes d'analyse au programme : théorème d'holomorphie sous le signe intégral, principe du prolongement analytique et injectivité de la transformée de Fourier sur $L^1(\mathbb{R})$. Je pense qu'il est important de bien citer toutes les hypothèses requises pour ces théorèmes (à l'oral). En revanche, ce développement se comprend et se retient facilement. De plus, il se recase dans de très nombreuses leçons. Je le recommande.
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  • Remarque :
    Développement très calculatoire. Je trouvais le résultat joli, mais cette preuve est infâme, et inintéressante de mon point de vue. Étant extrêmement nul en calculs, j'ai dû le répéter un très grand nombre de fois avant de la maîtriser. Et puisque je n'arrivais pas à la faire en quinze minutes, j'étais obligé de court-circuiter certaines étapes de calcul pour finir dans les temps. Si comme moi vous détestez les calculs, fuyez ce développement.
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    Développement très technique et très long si on écrit tous les détails. En revanche, il se recase dans de très nombreuses leçons. Pour être tout à fait honnête, je ne maîtrisais pas suffisamment ce développement pour l'exposer en seulement 15 minutes. Si c'est aussi votre cas, je vous conseille de prouver seulement le point (ii).
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    C'est un développement très (trop ?) classique. Mais il n'est pas nécessaire d'être original pour être admis au concours, donc ce n'est pas un inconvénient majeur. De mon point de vue, c'est un bon choix de développement, puisqu'il est accessible et rentre dans de nombreuses leçons. De plus, la méthode de Newton figure sur le programme du concours.
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    Développement assez technique, exploitant de nombreux théorèmes d'analyse au programme : théorème d'holomorphie sous le signe intégral, holomorphie de la somme d'une série de fonctions holomorphes (en cas de convergence normale), principe du prolongement analytique. Je pense qu'il est important de bien citer toutes les hypothèses requises pour ces théorèmes (à l'oral). Il se recase dans de nombreuses leçons. Je recommande ce développement.
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  • Remarque :
    Développement très sympathique, qui se recase dans de nombreuses leçons. Par contre, le développement est assez long. Ne démontrez surtout pas la proposition 2 durant votre exposé. Écrivez directement que $\displaystyle \zeta(\alpha) \underset{\substack{\alpha \rightarrow 1 \\ \alpha > 1}}{\sim} \frac{1}{\alpha-1}$, et précisez à l'oral que cet équivalent se démontre en effectuant une comparaison série intégrale. En revanche, entraînez-vous à rédiger proprement cette comparaison série-intégrale : c'est niveau licence donc vous devez être irréprochable.
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  • Remarque :
    Développement très sympathique, qui se comprend et se retient facilement. Selon moi, ce dernier apporte une valeur ajoutée par rapport à la preuve du théorème de Cauchy-Lipschitz général, puisqu’on se passe du théorème du point fixe. De plus, le théorème de Cauchy-Lipschitz linéaire figure sur le programme du concours.
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  • Remarque :
    À ma connaissance, cette preuve n'est pas référencée dans un livre. Elle provient du cours de Stéphane Rigat, dispensé en master de préparation à l’agrégation de mathématiques, à l’université d’Aix-Marseille.
    Développement très sympathique, qui se comprend et se retient facilement, et qui se présente dans de nombreuses leçons. De plus, le théorème des extrema liés figure sur le programme du concours.
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  • Remarque :
    À ma connaissance, cette preuve n'est pas référencée dans un livre. Elle provient du cours de Stéphane Rigat, dispensé en master de préparation à l’agrégation de mathématiques, à l’université d’Aix-Marseille.
    Développement très sympathique, qui se comprend et se retient facilement, et qui se présente dans de nombreuses leçons. De plus, le théorème des extrema liés figure sur le programme du concours.
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Ses plans de leçons :