Développement : Existence de base q-orthogonale et loi d'inertie de Sylvester

Détails/Enoncé :

Soit $\mathbb{K}$ un corps commutatif de caractéristique différente de 2. Soit $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel de dimension finie, notée $n$. Soit $q$ une forme quadratique sur $E$.

Théorème 1 : Il existe une base $q$-orthogonale de $E$.

Théorème 2 : Supposons $\mathbb{K}=\mathbb{R}$. Alors, il existe une base $\mathcal{B} = (e_1,\dots,e_n)$ de $E$ et $p \in [\![0,n]\!]$ tels que,
\begin{equation*}
\forall x = \sum_{k=1}^{n} x_k e_k \in E, \quad q(x) = \sum_{k=1}^{p} x_k^2 - \sum_{k=p+1}^{r} x_k^2
\end{equation*}
c'est-à-dire que :
\begin{equation*}
\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}}(q) =
\left(
\begin{array}{c|c|c}
I_p & \mathbf{0} & \mathbf{0}
\\
\hline
\mathbf{0} & -I_{r-p} & \mathbf{0}
\\
\hline
\mathbf{0} & \mathbf{0} & \mathbf{0}
\end{array}
\right).
\end{equation*}
De plus, cet entier $p$ ne dépend que de la forme quadratique (il ne dépend pas de la base $\mathcal{B}$). Le couple $(p,r-p)$ est appelé la signature de $q$.

Recasages pour l'année 2025 :

Versions :

Références utilisées dans les versions de ce développement :

Algèbre linéaire , Grifone (utilisée dans 133 versions au total)