Développement : Probabilité que deux éléments commutent dans groupe

Détails/Enoncé :

On montre que la probabilité de tirer deux éléments qui commutent dans un groupe non abélien est toujours majoré par 5/8 et que l'on peut calculer explicitement cette probabilité en fonction du nombre de classes de conjugaisons et le cardinal du groupe
On applique alors ce résultats a un groupe de matrice sur un corps fini.

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  • Remarque :
    Développement sur lequel je suis passé le jour J, donc j'ai bien détaillé la manière donc cela s'est passé dans mon retour d'oral.
    Développement très sympa, résultat plutôt mignon, pas spécialement difficile mais qui rentre quand même bien dans les attentes dans plusieurs leçons sur les groupes. Méfiez vous sur la référence : il y a une erreur dans la majoration finale. Essentiellement, ils font une soustraction de deux inégalités, ce qui est bien entendu faux. Regardez-le avant le jour J parce que dans mon cas je n'arrivais plus à retrouver la fin du développement, et j'ai bien vu que la référence contenait une malheureuse coquille... Pas foufou pour se mettre en confiance lors de la préparation de l'oral. Inutile de dire qu'il faut connaître des cas d'égalité (je dis bien des, on m'en a demandé deux : le groupe diédral et les quaternions H8).
    Côté recasages à mon avis:

    Groupe opérant sur un ensemble
    Groupes finis
    Conjugaison dans un groupe
    Méthodes combinatoires (se justifie surtout grâce à la preuve de la formule de Burnside surtout, mais on peut faire quand même beaucoup mieux dans cette leçon je pense...)

    Les remarques que j'ai mises à la fin du document sont purement personnelles ; elles font souvent référence aux difficultés que j'ai pu avoir au moment de préparer mes développements, peut-être certains pourront les trouver utiles... S'il y a une erreur dans le document ou quelque chose de douteux, vous pouvez me contacter par mail avec plaisir.
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Références utilisées dans les versions de ce développement :

131 Développements pour l’oral, D. Lesesvre, P. Montagnon, P. Le Barbenchon, T. Pierron (utilisée dans 76 versions au total)
Algèbre : le grand combat: Cours et exercices, Grégory Berhuy (utilisée dans 116 versions au total)