Leçon 158 : Endomorphismes remarquables d’un espace vectoriel euclidien (de dimension finie).

(2024) 158

Dernier rapport du Jury :

(2024 : 158 - Endomorphismes remarquables d'un espace vectoriel euclidien (de dimension finie).) Le théorème spectral est indispensable dans cette leçon. Une place importante mérite d'être faite au cas particulier des matrices symétriques positives et définies positives ; les candidates et candidats doivent connaître leurs propriétés fondamentales, leur rôle, et la structure de leur ensemble. La notion de signature pourra être présentée en montrant comment elle détermine la classe de congruence d'une matrice symétrique réelle. L'action du groupe linéaire et du groupe orthogonal sur l'espace des matrices symétriques peut donner un cadre naturel à cette leçon. Le lien avec les formes quadratiques et les formes hermitiennes est incontournable. L'orthogonalisation simultanée est un résultat important de cette leçon. Il faut en connaître les applications géométriques aux quadriques. Les candidates et candidats maîtrisant ces notions pourront illustrer la leçon en évoquant le cas des matrices de covariance de vecteurs aléatoires et discuter les conditions en assurant le caractère inversible, la décomposition de Cholesky, qui a de nombreuses applications pour le calcul scientifique (en lien avec la résolution de systèmes linéaires ou de problèmes de moindres carrés) ou en probabilités (construction d'un vecteur gaussien de matrice de covariance donnée à partir d'un vecteur gaussien de matrice de covariance identité), ou la décomposition en valeurs singulières d'une matrice (particulièrement importante pour le traitement massif de données).

(2022 : 160 - Endomorphismes remarquables d’un espace vectoriel euclidien (de dimension finie).) Dans cette leçon, le caractère euclidien de l'espace est essentiel pour que l'endomorphisme soit remarquable. Le théorème spectral pour les auto-adjoints et la réduction des endomorphismes orthogonaux sont des résultats incontournables. Le jury met les candidats en garde sur le fait que le lemme des noyaux ou la décomposition de Dunford ne sont pas des développements adaptés à cette leçon. En revanche, l'utilisation du fait que l'orthogonal d'un sous-espace stable par un endomorphisme est stable par l'adjoint doit être mis en valeur. De même la réduction d'endomorphismes normaux peut être évoquée. L'étude des projections orthogonales (en lien ave le calcul de distances), des rotations, des réflexions, des renversements, etc. fournit des exemples dignes d'intérêt. Une illustration pertinente peut s'appuyer sur la description de problèmes de moindres carrés en faisant ressortir le rôle de l'hypothèse de rang plein de A sur le caractère inversible de $A^\top A$.
(2019 : 160 - Endomorphismes remarquables d’un espace vectoriel euclidien (de dimension finie).) Dans cette leçon, le caractère euclidien de l’espace est essentiel pour que l’endomorphisme soit remarquable. Le théorème spectral pour les auto-adjoints et la réduction des endomorphismes orthogonaux sont des résultats incontournables. Le jury met les candidats en garde sur le fait que le lemme des noyaux ou la décomposition de Dunford ne sont pas des développements adaptés à cette leçon. En revanche, l’utilisation du fait que l’orthogonal d’un sous-espace stable par un endomorphisme est stable par l’adjoint doit être mis en valeur. De même la réduction d’endomorphismes normaux peut être évoquée. $\\$ L’étude des projections orthogonales (en lien avec le calcul de distances), des rotations, des réflexions, des renversements, etc. fournit des exemples dignes d’intérêt. Une illustration pertinente peut s’appuyer sur la description de problèmes de moindres carrés en faisant ressortir le rôle de l’hypothèse de rang plein de $A$ sur le caractère inversible de $A^TA$.
(2017 : 160 - Endomorphismes remarquables d'un espace vectoriel euclidien (de dimension finie).) Dans cette leçon, le caractère euclidien de l’espace est essentiel pour que l’endomorphisme soit remarquable. Le théorème spectral pour les auto-adjoints et la réduction des endomorphismes orthogonaux sont des résultats incontournables. Le jury met les candidats en garde sur le fait que le lemme des noyaux ou la décomposition de Dunford ne sont pas des développements adaptés à cette leçon. En revanche, l’utilisation du fait que l’orthogonal d’un sous-espace stable par un endomorphisme est stable par l’adjoint doit être mis en valeur. De même la réduction d’endomorphismes normaux peut être évoquée. Une illustration pertinente peut s’appuyer sur la description de problèmes de moindres carrés en faisant ressortir le rôle de l’hypothèse de rang plein de A sur le caractère inversible de $A {}^T A$.
(2016 : 160 - Endomorphismes remarquables d'un espace vectoriel euclidien (de dimension nie).) Dans cette leçon, le caractère euclidien de l’espace est essentiel pour que l’endomorphisme soit remarquable. Le théorème spectral pour les auto-adjoints et la réduction des endomorphismes orthogonaux sont des résultats incontournables. Le lemme des noyaux ou la décomposition de Dunford ne sont pas des développements adaptés à cette leçon. En revanche, l’utilisation du fait que l’orthogonal d’un sous-espace stable par un endomorphisme est stable par l’adjoint doit être mis en valeur. De même la réduction de endomorphismes normaux peut être évoquée.
(2015 : 160 - Endomorphismes remarquables d'un espace vectoriel euclidien (de dimension finie).) Dans cette leçon, les candidats doivent bien prendre conscience que le caractère euclidien de l'espace est essentiel pour que l'endomorphisme soit remarquable. Par exemple, des développements comme le lemme des noyaux ou la décomposition de Dunford n'ont rien à faire ici. En revanche, l'utilisation du fait que l'orthogonal d'un sous-espace stable par un endomorphisme est stable par l'adjoint doit être mis en valeur.
(2014 : 160 - Endomorphismes remarquables d'un espace vectoriel euclidien (de dimension finie).) Les candidats doivent bien prendre conscience que le caractère euclidien de l'espace est essentiel pour que l'endomorphisme soit remarquable. Par exemple, des développements comme le lemme des noyaux ou la décomposition de Dunford n'ont rien à faire ici. En revanche, l'utilisation du fait que l'orthogonal d'un sous-espace stable par un endomorphisme est stable par l'adjoint doit être mis en valeur.

Développements :

Plans/remarques :

2025 : Leçon 158 - Endomorphismes remarquables d’un espace vectoriel euclidien (de dimension finie).

  • Auteur :
  • Remarque :
    Fichier : brouillon/ébauche/plan non validé par une personne compétente.

    Mon conseil : prenez ce qui vous semble pertinent et faites simple. Pas besoin de faire compliqué pour avoir l'agreg.

    Méta-plan appris pour le jour J. Fait en juin 2024 et non validé par une personne compétente.

    I. Espace euclidien, endomorphismes normaux
    1) Généralités
    2) Endomorphisme adjoint
    3) Endomorphismes normaux
    II. Endomorphismes orthogonaux
    1) Pptes
    2) Groupe orthogonal
    3) Cas n=2, n=3
    4) Réduction
    III. Endomorphismes symétriques
    1) Pptes
    2) Sn+(R) et Sn++(R)
    3) Thm spectral et app (DVT : décomposition polaire, DVT : Conv(On(R))
    4) Symétries orthogonales (DVT : générateurs isom vect)


  • Fichier :

2024 : Leçon 158 - Endomorphismes remarquables d'un espace vectoriel euclidien (de dimension finie).

  • Auteur :
  • Remarque :
    Le Rombaldi permet de traiter la quasi intégralité de la leçon.

    Les références sont indiquées à la fin du plan. N'hésitez pas à me contacter pour me signaler toute erreur ou imprécision.
  • Fichier :
  • Auteur :
  • Remarque :
    Retrouvez tous nos plans de leçons ainsi que les fichiers latex associés à nos leçons sur notre site : https://sites.google.com/view/tribalchiefandwiseman/home?authuser=0
    Bonne preparation à vous !
  • Auteur :
  • Remarque :
    La plupart des mes plans sont inspirés de Ewna, Agentb0, Jouaucon, Abarrier et Marvin. Merci à eux. Attention aux coquilles ! Mes plans sont, en général, scannés juste après que j'ai finis de rédiger, bien sur quand je les ai relu j'ai trouvé des erreurs. Les références sont à la fin des plans.

    Il y'a pas mal de choses à dire je trouve.
  • Fichier :

2023 : Leçon 160 - Endomorphismes remarquables d’un espace vectoriel euclidien (de dimension finie).

  • Auteur :
  • Remarque :
    Voici mon plan totalement improvisé de mon oral blanc de leçon d'algèbre au sein de ma prépa-agreg. Vous constaterez qu'il est loin d'être parfait et comporte quelles coquilles dues au stress et au manque de temps, mais je l'ai déposé pour que vous puissiez voir à quoi ressemble une production dans le temps imparti de l'épreuve officielle.
    Je laisse en référence les livres que j'avais utilisés pendant le temps de préparation.
  • Références :
  • Fichier :
  • Auteur :
  • Remarque :
    Voici mes plans de leçons que j'ai réalisé en format complet.
    Si cela peut aider des gens, avec plaisir !
    Tout mes plans de leçons sont inspirés majoritairement de Jouaucon, Marvin et abarrier ( Merci à eux ! ).
    Les références sont à la fin.
    Attention aux éventuels coquilles.
  • Fichier :
  • Auteur :
  • Remarque :
    Possibilité d'avoir ma version complète manuscrite en me contactant par mail.
  • Fichier :

2022 : Leçon 160 - Endomorphismes remarquables d’un espace vectoriel euclidien (de dimension finie).


2020 : Leçon 160 - Endomorphismes remarquables d’un espace vectoriel euclidien (de dimension finie).

  • Auteur :
  • Remarque :
    Toutes les références sont à la fin du plan.

    Mes excuses pour l'écriture, et attention aux coquilles...
  • Fichier :

2019 : Leçon 160 - Endomorphismes remarquables d’un espace vectoriel euclidien (de dimension finie).


2018 : Leçon 160 - Endomorphismes remarquables d’un espace vectoriel euclidien (de dimension finie).


2017 : Leçon 160 - Endomorphismes remarquables d'un espace vectoriel euclidien (de dimension finie).


2016 : Leçon 160 - Endomorphismes remarquables d'un espace vectoriel euclidien (de dimension nie).


2015 : Leçon 160 - Endomorphismes remarquables d'un espace vectoriel euclidien (de dimension finie).


Retours d'oraux :

2024 : Leçon 158 - Endomorphismes remarquables d'un espace vectoriel euclidien (de dimension finie).

  • Leçon choisie :

    158 : Endomorphismes remarquables d'un espace vectoriel euclidien (de dimension finie).

  • Autre leçon :

    120 : Anneaux Z/nZ. Applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Sous-groupes finis de S0(3)

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Mon développement était plutôt rapide donc il m'ont demandé de répéter des justifications que j'avais donné seulement à l'oral.

    Il y avait une erreur dans mon plan, j'avais écrit "les valeurs propres d'une matrice orthogonale sont +1 ou -1" et ont vite compris que je maîtrisais mal les valeurs propres des matrices orthogonales, alors toutes les questions ont tourné autour de ceci et en lien avec la classification des matrices de SO2(R) ou O2(R).

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Peu expressif mais ils accompagnaient vraiment bien, en laissant de la liberté.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    J'aurais dû mettre moins de points de mon plan sur les généralités des espaces euclidiens, j'aurais eu alors plus de temps pour parler des matrices de Gram par exemple. Pour l'oral lui-même je suis content, bien que mes manque de connaissances sont vites révélées, j'ai su répondre aux problématiques qu'ils me posaient pour corriger mes lacunes.

  • Note obtenue :

    Pas de réponse fournie.


2022 : Leçon 160 - Endomorphismes remarquables d’un espace vectoriel euclidien (de dimension finie).


2019 : Leçon 160 - Endomorphismes remarquables d’un espace vectoriel euclidien (de dimension finie).

  • Leçon choisie :

    160 : Endomorphismes remarquables d’un espace vectoriel euclidien (de dimension finie).

  • Autre leçon :

    141 : Polynômes irréductibles à une indéterminée. Corps de rupture. Exemples et applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Décomposition polaire

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Questions du jury :
    - Lorsque l'on parle d'homéomorphisme dans la décomposition polaire, de quelles topologies parle-t-on ?
    - Quelles peuvent être les applications du théorème spectral ? Je ne vois pas ce que le jury veut me faire dire, on me demande donc à quel objet peut s'associer une matrice symétrique. Je répond donc que le théorème spectral peut servir à l'étude générale des formes quadratiques, le jury me demande de l'expliquer.
    - Expliquez pourquoi on peut simultanément diagonaliser deux endomorphismes symétriques qui commutent.
    - Montrez l'existence et l'unicité de l'adjoint. Je réponds que ça découle du théorème de Riesz-Fréchet en dimension finie, que le jury me demande de démontrer.
    - Montrez que l'ensemble des matrices symétriques définies positives est ouvert dans l'ensemble des matrices symétriques. Le jury s'attendait à ce que j'utilise la caractérisation par les mineurs principaux.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Le jury, très neutre, laissait du temps pour réfléchir et n'aidait que si je ne m'en sortais pas.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Le tableau était très petit ce qui était un peu déstabilisant pour le développement.

  • Note obtenue :

    14


Références utilisées dans les versions de cette leçon :

Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie, Jean Etienne Rombaldi (utilisée dans 500 versions au total)
Mathématiques Tout-en-un pour la Licence 2, Jean-Pierre Ramis, André Warusfel (utilisée dans 37 versions au total)
Algèbre , Gourdon (utilisée dans 334 versions au total)
Algèbre : le grand combat: Cours et exercices, Grégory Berhuy (utilisée dans 116 versions au total)
Histoires hédonistes de groupes et géométries, Tome 1, Caldero, Germoni (utilisée dans 120 versions au total)
Cours d'algèbre , Perrin (utilisée dans 434 versions au total)
Nouvelles histoires hédonistes de groupes et géométries, P. Caldero, J. Germoni (utilisée dans 67 versions au total)
Oraux X-ENS Algèbre 3 , Francinou, Gianella, Nicolas (utilisée dans 74 versions au total)
Statistique mathématique en action, Rivoirard, Stoltz (utilisée dans 9 versions au total)
Algèbre linéaire , Grifone (utilisée dans 97 versions au total)
L'oral à l'agrégation de mathématiques - Une sélection de développements , Isenmann, Pecatte (utilisée dans 146 versions au total)
Introduction à l'analyse numérique matricielle et à l'optimisation , Ciarlet (utilisée dans 63 versions au total)
Introduction to Lie Algebras and Representation Theory, Humphreys (utilisée dans 4 versions au total)
Algèbre , Tauvel (utilisée dans 8 versions au total)
Groupes de Lie classiques, Mneimné, Testard (utilisée dans 25 versions au total)
Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, Julien Bernis et Laurent Bernis (utilisée dans 150 versions au total)
Algèbre L3 , Szpirglas (utilisée dans 45 versions au total)
Géométrie, Audin (utilisée dans 34 versions au total)
Matrices , Serre (utilisée dans 10 versions au total)