Leçon 141 : Polynômes irréductibles à une indéterminée. Corps de rupture. Exemples et applications.

(2024) 141

Dernier rapport du Jury :

(2024 : 141 - Polynômes irréductibles à une indéterminée. Corps de rupture. Exemples et applications.) Les généralités sur les algèbres de polynômes à une variable sont supposées connues. Le bagage théorique permettant de définir corps de rupture et corps de décomposition doit être présenté. Ces notions doivent être illustrées dans différents types de corps (réels, rationnels, corps finis) ; les corps finis peuvent être illustrés par des exemples de polynômes irréductibles de degré 2, 3, 4 sur F2 ou F3. Il est nécessaire de présenter des critères d'irréductibilité de polynômes et les polynômes minimaux de quelques nombres algébriques, par exemple les polynômes cyclotomiques. Le théorème de la base téléscopique, ainsi que les utilisations arithmétiques (utilisation de la divisibilité) que l'on peut en faire dans l'étude de l'irréductibilité des polynômes sont incontournables. Des applications du corps de décomposition doivent être mentionnées, par exemple en algèbre linéaire. Pour aller plus loin, on peut montrer que l'ensemble des nombres algébriques sur le corps Q des rationnels est un corps algébriquement clos, s'intéresser aux nombres constructibles à la règle et au compas, et éventuellement s'aventurer en théorie de Galois.

(2023 : 141 - Polynômes irréductibles à une indéterminée. Corps de rupture. Exemples et applications.) Les généralités sur les algèbres de polynômes à une variable sont supposées connues. Le bagage théorique permettant de définir corps de rupture et corps de décomposition doit être présenté. Ces notions doivent être illustrées dans différents types de corps (réel, rationnel, corps finis) ; les corps finis peuvent être illustrés par des exemples de polynômes irréductibles de degré 2, 3, 4 sur $\mathbb{F}_2$ ou $\mathbb{F}_3$. Il est nécessaire de présenter des critères d'irréductibilité de polynômes et des polynômes minimaux de quelques nombres algébriques, par exemple les polynômes cyclotomiques. Le théorème de la base téléscopique, ainsi que les utilisations arithmétiques (utilisation de la divisibilité) que l'on peut en faire dans l'étude de l'irréductibilité des polynômes sont incontournables. Des applications du corps de décomposition doivent être mentionnées, par exemple en algèbre linéaire. Pour aller plus loin, on peut montrer que l'ensemble des nombres algébriques sur le corps $\mathbb{Q}$ des rationnels est un corps algébriquement clos, s'intéresser aux nombres constructibles à la règle et au compas, et éventuellement s'aventurer en théorie de Galois.
(2022 : 141 - Polynômes irréductibles à une indéterminée. Corps de rupture. Exemples et applications. ) La présentation du bagage théorique permettant de définir corps de rupture, corps de décomposition, ainsi que des illustrations dans différents types de corps (réel, rationnel, corps finis) sont inévitables. Les corps finis peuvent être illustrés par des exemples de polynômes irréductibles de degré 2, 3, 4 sur F2 ou F3. Il est nécessaire de présenter des critères d'irréductibilité de polynômes et des polynômes minimaux de quelques nombres algébriques. Il est bon de savoir montrer que l'ensemble des nombres algébriques sur le corps Q des rationnels est un corps algébriquement clos. Le théorème de la base téléscopique, ainsi que les utilisations arithmétiques (utilisation de la divisibilité) que l'on peut en faire dans l'étude de l'irréductibilité des polynômes, est incontournable. Des applications du corps de décomposition doivent être mentionnées, par exemple en algèbre linéaire.
(2020 : 141 - Polynômes irréductibles à une indéterminée. Corps de rupture. Exemples et applications.) La présentation du bagage théorique permettant de définir corps de rupture, corps de décomposition, ainsi que des illustrations dans différents corps (réel, rationnel, corps finis) sont inévitables. Les corps finis peuvent être illustrés par des exemples de polynômes irréductibles de degré 2, 3, 4 sur $F_2$ ou $F_3$ . Il est nécessaire de présenter des critères d’irréductibilité de polynômes et des polynômes minimaux de quelques nombres algébriques. $$$$ Il est bon de savoir montrer que l’ensemble des nombres algébriques sur le corps Q des rationnels est un corps algébriquement clos. Le théorème de la base téléscopique, ainsi que les utilisations arithmétiques (utilisation de la divisibilité) que l’on peut en faire dans l’étude de l’irréductibilité des polynômes, est incontournable.
(2019 : 141 - Polynômes irréductibles à une indéterminée. Corps de rupture. Exemples et applications.) La présentation du bagage théorique permettant de définir corps de rupture, corps de décomposition, ainsi que des illustrations dans différents types de corps (réel, rationnel, corps finis) sont inévitables. Les corps finis peuvent être illustrés par des exemples de polynômes irréductibles de degré 2, 3, 4 sur $\textbf{F}_2$ ou $\textbf{F}_3$. Il est nécessaire de présenter des critères d’irréductibilité de polynômes et des polynômes minimaux de quelques nombres algébriques. Il est bon de savoir montrer que l’ensemble des nombres algébriques sur le corps $\textbf{Q}$ des rationnels est un corps algébriquement clos. Le théorème de la base téléscopique, ainsi que les utilisations arithmétiques (utilisation de la divisibilité) que l’on peut en faire dans l’étude de l’irréductibilité des polynômes, est incontournable.
(2017 : 141 - Polynômes irréductibles à une indéterminée. Corps de rupture. Exemples et applications.) La présentation du bagage théorique permettant de définir corps de rupture, corps de décomposition, ainsi que des illustrations dans différents types de corps (réel, rationnel, corps finis) sont inévitables. Les corps finis peuvent être illustrés par des exemples de polynômes irréductibles de degré 2, 3, 4 sur $F_2$ ou $F_3$. Il est nécessaire de présenter des critères d’irréductibilité de polynômes et des polynômes minimaux de quelques nombres algébriques. Il faut savoir qu’il existe des corps algébriquement clos de caractéristique nulle autres que C; il est bon de savoir montrer que l’ensemble des nombres algébriques sur le corps Q des rationnels est un corps algébriquement clos. Le théorème de la base téléscopique, ainsi que les utilisations arithmétiques (utilisation de la divisibilité) que l’on peut en faire dans l’étude de l’irréductibilité des polynômes, est incontournable.
(2016 : 141 - Polynômes irréductibles à une indéterminée. Corps de rupture. Exemples et applications.) La présentation du bagage théorique permettant de définir corps de rupture, corps de décomposition, ainsi que des illustrations dans différents types de corps (réel, rationnel, corps finis) sont inévitables. Les corps finis peuvent être illustrés par des exemples de polynômes irréductibles de degré 2, 3, 4 sur $F_2$ ou $F_3$ . Il est nécessaire de présenter des critères d’irréductibilité de polynômes et des polynômes minimaux de quelques nombres algébriques. Il faut savoir qu’il existe des corps algébriquement clos de caractéristique nulle autres que $C$ ; il est bon de savoir montrer que l’ensemble des nombres algébriques sur le corps $Q$ des rationnels est un corps algébriquement clos. Le théorème de la base télescopique, ainsi que les utilisations arithmétiques (utilisation de la divisibilité) que l’on peut en faire dans l’étude de l’irréductibilité des polynômes, est incontournable.
(2015 : 141 - Polynômes irréductibles à une indéterminée. Corps de rupture. Exemples et applications.) Le jury attend dans cette leçon un bagage théorique permettant de définir corps de rupture, corps de décomposition (la preuve de l'unicité de ce dernier n'est pas exigée), ainsi que des illustrations dans différents types de corps (réel, rationnel, corps finis). Attention à ne pas croire qu'un polynôme réductible admet forcément des racines (même en dehors du cadre de cette leçon !). sBien entendu, les corps finis ont une place de choix et il sera instructif de chercher des polynômes irréductibles de degré $2,3,4$ sur $\mathbb{F}_2$, ou $\mathbb{F}_3$. Il faut savoir qu'il existe des corps algébriquement clos de caractéristique nulle autres que $\mathbb{C}$ se savoir montrer que l'ensemble des nombres algébriques sur le corps $\mathbb{Q}$ des rationnels est un corps algébriquement clos. Il faut connaître le théorème de la base téléscopique ainsi que les utilisations artithmétiques (utilisation de la divisibilité) que l'on peut en faire dans l'étude de l'irréductibilité des polynômes.
(2014 : 141 - Polynômes irréductibles à une indéterminée. Corps de rupture. Exemples et applications.) Les applications ne concernent pas que les corps finis. Il existe des corps algébriquement clos de caractéristique nulle autre que $C$. Un polynôme réductible n'admet pas forcément de racines. Il est instructif de chercher des polynômes irréductibles de degré 2, 3, 4 sur $F_2$ . Il faut connaître le théorème de la base téléscopique ainsi que les utilisations artithmétiques (utilisation de la divisibilité) que l'on peut en faire dans l'étude de l'irréductibilité des polynômes.

Développements :

Plans/remarques :

2025 : Leçon 141 - Polynômes irréductibles à une indéterminée. Corps de rupture. Exemples et applications.

  • Auteur :
  • Remarque :
    (Fait partie des pires leçons pour moi)

    Méta-plan appris pour le jour J. Fait en juin 2024 et non validé par une personne compétente.

    I. Polynôme irréductible
    1) Irréductibilité
    2) Propriété de A(X) et irréductibilité d'un polynôme P
    3) Critères d'irréductibilité (DVT : Eisenstein)
    II. Polynômes et extension de corps
    1) Extension de corps, éléments algébriques
    2) Corps de rupture et de décomposition
    3) Clôture algébrique (DVT : thm de Gauss)
    III. Polynômes cyclotomiques (DVT)
  • Auteur :
  • Remarque :
    Plans faits pendant l'année à 3. Pas toujours vérifiés ni forcément aboutis. N'étaient pas faits pour être partagés donc il y a des commentaires/remarques personnelles que vous ne comprendrez sûrement pas ! En espérant que le métaplan puisse tout de même aider !
  • Fichier :
  • Auteur :
  • Remarque :
    C'est le mémoire que j'ai écrit pendant mon M2 agreg.
    Je me dis autant le poster (peut-être qu 'il vous servira à vous).

    PS: à la fin de l'année j'ai finalement décidé de faire le dév 3 au lieu du dév 2.

    (ATTENTION, comme toujours, faites preuve d'esprit critique il y a peut-être fautes et/ou coquilles.
  • Fichier :
  • Auteur :
  • Remarque :
    Plan ultra classique, il y a vraiment zéro prise de risques.
    Je pense que pendant la présentation de 6 minutes, il faut insister sur l'utilité des corps de rupture et de décomposition, cela permet de faire "vivre" la leçon.
    Si j'étais passé dessus le jour J, j'aurais enlevé la sous-partie sur la clotûre algébrique par manque de place (je préférais me concentrer sur les corps finis car leur construction utilise les corps de rupture et de décomposition, on peut d'ailleurs le présenter comme développement).

    Mes plans sont en général inspirés de ceux de Matilde, Hugo, Mathis Lemay, Tintin, RMaurice et Ewna. Merci à elles/eux !
    Mes plans sont personnels, ne prenez que ce que vous maitrisez : n'oubliez pas que le jour de l'oral, le jury peut vous interroger sur n'importe quel item de votre plan.
    N'hésitez pas à me signaler s'il y a des erreurs.
  • Références :
  • Fichier :

2024 : Leçon 141 - Polynômes irréductibles à une indéterminée. Corps de rupture. Exemples et applications.

  • Auteur :
  • Remarque :
    Beaucoup de parties de cette leçon se recasent dans d'autres, donc elle est pas super compliquée à préparer.

    Les références sont indiquées à la fin du plan. N'hésitez pas à me contacter pour me signaler toute erreur ou imprécision.
  • Fichier :
  • Auteur :
  • Remarque :
    Pour cette leçon, tout est dans le Perrin et le Gozard ! Le plan a été approuvé par une excellente prof.
    Il faut essayer de bien mixer les polynômes irréductibles et la théorie des corps.
    C'est bien de penser à parler d'un peu d'algèbre linéaire.
    Il faut savoir évidemment montrer qu'un polynôme est irréductible (ou au moins proposer des critères), mais aussi construire des corps finis comme $\mathbb{F}_4$, $\mathbb{F}_9$ avec un polynôme irréductible, puis faire des calculs dans le corps fini ainsi construit (produits, inverses)
  • Références :
  • Fichier :
  • Auteur :
  • Remarque :
    Retrouvez tous nos plans de leçons ainsi que les fichiers latex associés à nos leçons sur notre site : https://sites.google.com/view/tribalchiefandwiseman/home?authuser=0
    Bonne preparation à vous !
  • Auteur :
  • Remarque :
    Retrouvez tous nos plans de leçons ainsi que les fichiers latex associés à nos leçons sur notre site : https://sites.google.com/view/tribalchiefandwiseman/home?authuser=0
    Bonne preparation à vous !
  • Auteur :
  • Remarque :
    La plupart des mes plans sont inspirés de Ewna, Agentb0, Jouaucon, Abarrier et Marvin. Merci à eux. Attention aux coquilles ! Mes plans sont, en général, scannés juste après que j'ai finis de rédiger, bien sur quand je les ai relu j'ai trouvé des erreurs. Les références sont à la fin des plans.
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2023 : Leçon 141 - Polynômes irréductibles à une indéterminée. Corps de rupture. Exemples et applications.

  • Auteur :
  • Remarque :
    Leçon présentée en binôme pendant l'année
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  • Auteur :
  • Remarque :
    Possibilité d'avoir ma version complète manuscrite en me contactant par mail.
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2022 : Leçon 141 - Polynômes irréductibles à une indéterminée. Corps de rupture. Exemples et applications.


2020 : Leçon 141 - Polynômes irréductibles à une indéterminée. Corps de rupture. Exemples et applications.

  • Auteur :
  • Remarque :
    Toutes les références sont à la fin du plan.

    Mes excuses pour l'écriture, et attention aux coquilles...
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2019 : Leçon 141 - Polynômes irréductibles à une indéterminée. Corps de rupture. Exemples et applications.


2018 : Leçon 141 - Polynômes irréductibles à une indéterminée. Corps de rupture. Exemples et applications.


2017 : Leçon 141 - Polynômes irréductibles à une indéterminée. Corps de rupture. Exemples et applications.


2016 : Leçon 141 - Polynômes irréductibles à une indéterminée. Corps de rupture. Exemples et applications.


2015 : Leçon 141 - Polynômes irréductibles à une indéterminée. Corps de rupture. Exemples et applications.


Retours d'oraux :

2025 : Leçon 141 - Polynômes irréductibles à une indéterminée. Corps de rupture. Exemples et applications.

  • Leçon choisie :

    141 : Polynômes irréductibles à une indéterminée. Corps de rupture. Exemples et applications.

  • Autre leçon :

    121 : Nombres premiers. Applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Les idéaux premiers de K[X,Y]

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    J'étais très contente du couplage, j'étais passée sur cette leçon en oral blanc trois semaines plus tôt !

    Le jury a mis du temps à choisir un développement, mais je suis contente qu'ils m'aient demandé celui-là, je l'aime beaucoup (et je m'attendais à ce qu'ils choisissent l'autre, plus classique).

    Question facile sur le DEV : est-ce que ça s'applique à Z ? J'ai répondu que non, Z n'est pas un corps (c'était visiblement ce qu'attendait le jury).

    Remarque sur mon plan : il y avait une coquille, j'avais écrit que A[X] est principal ssi A principal, ils me demandent si c'est bien ça, je corrige en disant que c'est bien sûr ssi A est un corps. Ils m'ont dit que c'est de toute façon cohérent avec ce que j'avais dit en défense de plan.

    Ils m'ont demandé de construire F_25 comme corps de rupture. On trouve un polynôme irréductible de degré 2 sur F_5, X^2 + X +1 convient.

    Ils m'ont donné un polynôme à coeffs entiers, X^5 - X + 1 je crois, et m'ont demandé de montrer qu'il est irréductible sur F_25. J'ai dit qu'il suffit de montrer qu'il est irréductible sur F_5 par un critère du plan car 2 et 5 sont premiers entre eux. Pour le montrer sur F_5, il faut vérifier qu'il n'a pas de racine dans F_5 et F_25. Pour F_5, c'est ok car il vaut 1 partout, pour F_25 c'est un peu plus long mais on y arrive en considérant la classe de $X$ dans le quotient.

    Quel est le groupe de Galois du corps de rupture de X^3 - 2 sur Q ? Et celui de son corps de décomposition ? (je n'avais pas du tout parlé de Galois dans mon plan) J'ai répondu que racine 3ème de 2 est envoyé sur une racine de X^3 - 2, mais les autres ne sont pas dans le corps, donc identité. Z/3Z pour l'autre.

    Quel est le groupe de Galois de Q(exp(2ipi/n) ? C'est Z/nZ^*.

    Comment est-ce que vous montrez qu'il existe des polynômes irréductibles de tout degré sur F_p ? J'ai parlé de cyclicité du groupe des inversibles de F_(p^n), on regarde le polynôme minimal du générateur.

    Parlez-nous des nombres algébriques (je n'en avais pas vraiment parlé dans le plan) J'ai donné la définition, puis ils m'ont demandé quoi dire de l'ensemble des algébriques sur Q. J'ai dit que c'est un corps. Ils m'ont demandé de le montrer. J'ai dit qu'avec le résultant on peut trouver des polynômes annulateurs de la somme/produit, etc, puis j'ai dit qu'on peut considérer Q[x][y], dont le degré est majoré par base téléscopique.

    Soit M une matrice à coeffs dans Z. Montrer que Tr(M^p) et Tr(M)^p sont congrus mod p. On réduit modulo p. J'ai commencé par dire que ça fonctionne directement dans F_p, mais je me suis rendu compte que non, il faut se placer dans une clôture algébrique pour trigonaliser. Ils m'ont ensuite demandé quelles sont les matrices à coefficients dans F_p telles que M^p=M.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Très gentil, pas cassant du tout. Ils ont bien rappelé les consignes au début de l'oral, et ils me proposaient de l'eau (il y avait une bouteille et des gobelets) entre chaque partie de l'oral. Un des membres du jury parlait plus que les autres, mais les trois m'ont posé des questions. Ils ont mis du temps à choisir un développement, ils avaient l'air de pas mal hésiter.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    J'ai été (agréablement) surprise par le fait qu'on a un quart d'heure de battement entre la fin de la préparation et le début de l'oral, pendant que les appariteurs photocopient le plan.

  • Note obtenue :

    19.75


2023 : Leçon 141 - Polynômes irréductibles à une indéterminée. Corps de rupture. Exemples et applications.


2019 : Leçon 141 - Polynômes irréductibles à une indéterminée. Corps de rupture. Exemples et applications.

  • Leçon choisie :

    141 : Polynômes irréductibles à une indéterminée. Corps de rupture. Exemples et applications.

  • Autre leçon :

    161 : Distances et isométries d'un espace affine euclidien.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Critère d'Eisenstein

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Un échange (très) détaillé est disponible sur mon site internet : www.coquillagesetpoincare.fr

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Jury pas trop agréable, avec des visages très fermés même si j’ai réussi à décrocher un sourire à un des trois sur l’histoire d’un Fp-espace-vectoriel de dimension fini. Pas beaucoup d’aide pour répondre, j’ai du tout chercher tout seul. Des fois, ça allait vite, des fois un peu moins.Sur le coup, ça ne m’a pas marqué, mais avec le recul, je me suis rendu compte que je n’ai pas eu beaucoupde questions sur les polynômes irréductibles, mais surtout sur de la factorialité, le pgcd, les éléments/idéaux irréductibles et premiers, corps finis, etc

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Oui

  • Note obtenue :

    14


2017 : Leçon 141 - Polynômes irréductibles à une indéterminée. Corps de rupture. Exemples et applications.


Références utilisées dans les versions de cette leçon :

Cours d'algèbre , Perrin (utilisée dans 511 versions au total)
Anneaux, corps, résultants, Ulmer, Félix (utilisée dans 19 versions au total)
Théorie de Galois, Gozard (utilisée dans 54 versions au total)
Exercices d'algèbre , Ortiz (utilisée dans 16 versions au total)
Algèbre : le grand combat: Cours et exercices, Grégory Berhuy (utilisée dans 145 versions au total)
Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie, Jean Etienne Rombaldi (utilisée dans 628 versions au total)
Algèbre et probabilités, Gourdon (utilisée dans 119 versions au total)
Corps commutatifs et théorie de Galois , Tauvel (utilisée dans 20 versions au total)
Algèbre , Gourdon (utilisée dans 349 versions au total)
Objectif Agrégation, Beck, Malick, Peyré (utilisée dans 312 versions au total)
Théorie de Galois : Niveau L3-M1, Ivan Gozard (utilisée dans 10 versions au total)
Exercices mathématiques , Francinou, Gianella (utilisée dans 26 versions au total)
Cours d'algèbre , Demazure (utilisée dans 17 versions au total)
Tout-en-un MP/MP*, Claude Deschamps (utilisée dans 40 versions au total)
Exercices de mathématiques pour l'agrégation, algèbre 1, Serge Francinou (utilisée dans 6 versions au total)
Algèbre L3 , Szpirglas (utilisée dans 45 versions au total)
Théorie de Galois , Gozart (utilisée dans 8 versions au total)
L'oral à l'agrégation de mathématiques - Une sélection de développements , Isenmann, Pecatte (utilisée dans 179 versions au total)
Cours de Mathématiques - 1 Algèbre, Arnaudiès - Fraysse (utilisée dans 15 versions au total)
Algèbre , Tauvel (utilisée dans 9 versions au total)
Oraux X-ENS Algèbre 1, Francinou, Gianella, Nicolas (utilisée dans 157 versions au total)
Extension de Corps - Théorie de Galois, Josette Calais (utilisée dans 6 versions au total)
Corps Finis, Dany-Jack Mercier (utilisée dans 3 versions au total)