Développement :
Solutions développables en série entière de l'équation de Bessel
Détails/Enoncé :
On considère l'équation différentielle $xy'' + y' + xy = 0$.
Il existe une unique solution développable en série entière en $0$ et valant $1$ en $0$. C'est
La première partie est à zapper sinon on manque trop de temps pour le reste !
Pour la dernière justification dernière partie sur l'équivalence avec l'intégrale, on trouvera le théorème qui nous donne cela dans le Gourdon d'Analyse !
On montre également que si $f_0$ est la solution valant 1 en 0; et $f$ une autre solution sur un intervalle $]0,a[$, alors $(f,f_0)$ est libre si et seulement si $f$ n'est pas bornée au voisinage de $0$.
Exemple d'utilisation des séries entières pour résoudre des équations différentielles.
La dernière partie sur la preuve de la formule intégrale étant juste une vérification par le calcul qu'elle vérifie l'équation, elle peut être abrégée si on manque de temps.
On suit l'exercice du FGN sauf la première partie avec la solution explicite sous forme d'intégrale à paramètre. La fin est différente et ne demande pas un théorème louche d'analyse.
Lien direct vers le fichier : https://delbep.notion.site/406816fc93b74e5db75ff232d12fdab7?v=d11624e4c7aa41bdb625b5e3a57af4e6
Vous trouverez toutes mes ressources pour l'agrégation à cette adresse : https://www.notion.so/delbep/Agr-gation-c834c3492ca94b68b157e683e615536b?pvs=4
Mes documents sont longs, déjà parce que je parle vite (donc il faut beaucoup de contenus), que j'écris gros, et que j'aime bien comprendre dans les détails, mais aussi et surtout parce qu'il y a beaucoup de remarques/infos à la fin, pour essayer d'être capable de répondre au max de questions liées au dev !
Evidemment, il est fort possible qu'il y ait des coquilles de ci de là, n'hésitez pas à me les signaler !
Références utilisées dans les versions de ce développement :
Oraux X-ENS Analyse 4
, Francinou, Gianella, Nicolas (utilisée dans 64 versions au total)
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