Leçon 161 : Espaces vectoriels et espaces affines euclidiens : distances, isométries.

(2024) 161

Dernier rapport du Jury :

(2024 : 161 - Espaces vectoriels et espaces affines euclidiens : distances, isométries.) Les généralités sur les espaces euclidiens et affines sont supposées connues. La leçon reste contenue dans le cadre des espaces de dimension finie. La notion de distance est abordée dans le cadre de la norme euclidienne : les projections orthogonales doivent être mentionnées. Les déterminants de Gram et des inégalités du type des inégalités d'Hadamard ont toute leur place dans cette leçon. La classification des isométries en dimension 2 et 3 est exigible. En dimension 3, il faut savoir classifier les rotations et connaître les liens avec la réduction. On peut aussi penser aux isométries laissant stables certains objets en dimension 2 et 3. Il faut savoir justifier qu'une isométrie est affine, pouvoir donner des générateurs du groupe des isométries affines et savoir composer des isométries affines. Les groupes de similitudes peuvent également être abordés. Pour aller plus loin, les candidates et candidats peuvent évoquer l'interprétation de l'écart-type comme une distance, et présenter la matrice de covariance comme un exemple pertinent de matrice de Gram. Ainsi, les déterminants de GRAM permettent de calculer l'erreur commise dans le cadre de prédictions affines.

(2022 : 161 - Distances et isométries d’un espace affine euclidien.) Cette leçon ne doit pas se restreindre aux seuls cas des dimensions 2 et 3, même s'il est naturel que ceux- ci y occupent une place importante. La classification des isométries en dimension 2 et 3 est exigible. En dimension 3, il faut savoir classifier les rotations et connaître les liens avec la réduction. On peut aussi penser aux isométries laissant stables certains objets en dimension 2 et 3. Il faut savoir prouver qu'une isométrie est affine, pouvoir donner des générateurs du groupe des isométries affines et savoir composer des isométries affines. Les candidats peuvent en outre parler de la définition de la distance, de la distance à un sous-espace vectoriel et de déterminant de Gram. Les groupes de similitude peuvent également être abordés. S'ils le désirent, les candidats peuvent évoquer l'interprétation de l'écart-type comme une distance, et présenter la matrice de covariance comme un exemple pertinent de matrice de Gram. Ainsi, les déterminants de Gram permettent de calculer l'erreur commise dans le cadre de prédictions affines.
(2019 : 161 - Distances et isométries d'un espace affine euclidien.) Cette leçon ne doit pas se restreindre aux seuls cas des dimensions 2 et 3, même s’il est naturel que ceux-ci y occupent une place importante. La classification des isométries en dimension 2 et 3 est exigible. En dimension 3, il faut savoir classifier les rotations et connaître les liens avec la réduction. On peut aussi penser aux isométries laissant stables certains objets en dimension 2 et 3. Il faut savoir prouver qu’une isométrie est affine, pouvoir donner des générateurs du groupe des isométries affines et savoir composer des isométries affines. $\\$ Les candidats peuvent en outre parler de la définition de la distance, de la distance à un sous-espace vectoriel et de déterminant de Gram. Les groupes de similitude peuvent également être abordés. $\\$ S’ils le désirent, les candidats peuvent évoquer l’interprétation de l’écart-type comme une distance,et présenter la matrice de covariance comme un exemple pertinent de matrice de Gram. Ainsi, les déterminants de Gram permettent de calculer l’erreur commise dans le cadre de prédictions affines.
(2017 : 161 - Isométries d'un espace affine euclidien de dimension finie. Applications en dimension $2$ et $3$.) La classification des isométries en dimension 2 et 3 est exigible. Il faut savoir prouver qu’une isométrie est affine, pouvoir donner des générateurs du groupe des isométries affines, et savoir composer des isométries affines. En dimension 3, il faut savoir classifier les rotations et connaître les liens avec la réduction. On peut aussi penser aux applications aux isométries laissant stables certains objets en dimension 2 et 3.
(2016 : 161 - Isométries d'un espace affine euclidien de dimension finie. Applications en dimensions 2 et 3.) La classification des isométries en dimension 2 et 3 est exigible. Il faut savoir prouver qu’une isométrie est affine, pouvoir donner des générateurs du groupe des isométries affines, et savoir composer des isométries affines. En dimension 3, il faut savoir classifier les rotations et connaître les liens avec la réduction. On peut aussi penser aux applications aux isométries laissant stables certains objets en dimension 2 et 3.
(2015 : 161 - Isométries d'un espace affine euclidien de dimension finie. Applications en dimensions $2$ et $3$.) La classification des isométries en dimension 2 est exigible. En dimension 3, il faut savoir classifier les rotations et connaître les liens avec la réduction. On peut penser aux applications aux isométries laissant stables certaines objets en dimension 2 et 3.
(2014 : 161 - Isométries d'un espace affine euclidien de dimension finie. Applications en dimensions $2$ et $3$.) La classification des isométries en dimension 2 est exigible. En dimension 3, les rotations et les liens avec la réduction. On peut penser aux applications aux isométries laissant stables certaines figures en dimension 2 et 3.

Développements :

Plans/remarques :

2025 : Leçon 161 - Espaces vectoriels et espaces affines euclidiens : distances, isométries.

  • Auteur :
  • Remarque :
    Méta-plan appris pour le jour J. Fait en juin 2024 et non validé par une personne compétente.

    I. Distances et normes
    1) Généralités
    2) Projections orthogonales
    3) Isométries
    II. Groupes O(E), Isom(E)
    1) Pptes des isométries + réduction
    2) Groupe O(E) + Topologie (DVT : Conv(On(R)))
    3) Groupe Isom(E)
    III. Cas particuliers
    1) Symétrie orthogonales, réflexions (DVT : générateurs de O(q))
    2) Cas en dimension 2 et 3, classification et étude de SO3(R) (DVT : quaternions)
    3) Isom affine conservant une partie



2024 : Leçon 161 - Espaces vectoriels et espaces affines euclidiens : distances, isométries.

  • Auteur :
  • Remarque :
    Pas facile facile cette leçon...
    Beaucoup de choses se trouvent dans le livre de Ladegaillerie, mais ce dernier, bien que très riche, est assez difficile à lire surtout quand on est peu à l'aise en géométrie affine comme moi...
    Pour le DEV 1, attention au cas d'égalité dans l'inégalité d'Hadamard, qu'il faut faire soigneusement car il est souvent bâclé dans les références que j'ai trouvées.
    Bosser un peu les isométries laissant globalement invariant le tétraèdre ou le cube peut être un bon investissement à faire : c'est joli et ça aide à comprendre vraiment l'intérêt des actions de groupe.
    Il faut savoir classifier une isométrie vectorielle ou affine en petite dimension à partir d'une matrice (vectorielle) ou d'un système (affine)
    Les tableaux en annexe sont un peu nuls, il y en a des mieux faits dans le Garnier ou le Combes que j'ai mis dans ma version de la leçon 191.
  • Références :
  • Fichier :
  • Auteur :
  • Remarque :
    Retrouvez tous nos plans de leçons ainsi que les fichiers latex associés à nos leçons sur notre site : https://sites.google.com/view/tribalchiefandwiseman/home?authuser=0
    Bonne preparation à vous !
  • Auteur :
  • Remarque :
    La plupart des mes plans sont inspirés de Ewna, Agentb0, Jouaucon, Abarrier et Marvin. Merci à eux. Attention aux coquilles ! Mes plans sont, en général, scannés juste après que j'ai finis de rédiger, bien sur quand je les ai relu j'ai trouvé des erreurs. Les références sont à la fin des plans.

    Plan semi détaillé.

    Je suis pas un grand fan de géométrie affine. J'aime beaucoup le Tauvel Géométrie mais je sais pas si tout le monde peut apprécier. Je dis beaucoup de choses sur la géométrie/isométrie affine mais peut être un peu trop. En tout cas il y'a ce qu'il faut pour redémontrer chaque proposition. Peut-être que la leçon est trop longue ducoup ...
  • Fichier :

2023 : Leçon 161 - Distances dans un espace affine euclidien. Isoméries.

  • Auteur :
  • Remarque :
    Possibilité d'avoir ma version complète manuscrite en me contactant par mail.
  • Fichier :

2022 : Leçon 161 - Distances et isométries d’un espace affine euclidien.


2020 : Leçon 161 - Distances et isométries dun espace affine euclidien.


2019 : Leçon 161 - Distances et isométries d'un espace affine euclidien.


2017 : Leçon 161 - Isométries d'un espace affine euclidien de dimension finie. Applications en dimension $2$ et $3$.


2016 : Leçon 161 - Isométries d'un espace affine euclidien de dimension finie. Applications en dimensions 2 et 3.


2015 : Leçon 161 - Isométries d'un espace affine euclidien de dimension finie. Applications en dimensions $2$ et $3$.


Retours d'oraux :

Pas de retours pour cette leçon.

Références utilisées dans les versions de cette leçon :

Géométrie, Audin (utilisée dans 34 versions au total)
Algèbre linéaire , Grifone (utilisée dans 97 versions au total)
Algèbre , Gourdon (utilisée dans 333 versions au total)
Cours d'algèbre , Perrin (utilisée dans 433 versions au total)
Histoires hédonistes de groupes et géométries, Tome 1, Caldero, Germoni (utilisée dans 120 versions au total)
Objectif Agrégation, Beck, Malick, Peyré (utilisée dans 292 versions au total)
Analyse pour l'agrégation, Queffelec, Zuily (utilisée dans 219 versions au total)
Géométrie , Ladegaillerie (utilisée dans 8 versions au total)
Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie, Jean Etienne Rombaldi (utilisée dans 493 versions au total)
Elements d'analyse fonctionnelle , Hirsch (utilisée dans 105 versions au total)
Tout-en-un MPSI, Claude Deschamps (utilisée dans 23 versions au total)
Analyse , Gourdon (utilisée dans 596 versions au total)
Algèbre et probabilités, Gourdon (utilisée dans 77 versions au total)
Oraux X-ENS Algèbre 3 , Francinou, Gianella, Nicolas (utilisée dans 74 versions au total)
Tout-en-un MP/MP*, Claude Deschamps (utilisée dans 40 versions au total)
Algèbre : le grand combat: Cours et exercices, Grégory Berhuy (utilisée dans 114 versions au total)
Théorie des groupes (bis), Delcourt (utilisée dans 10 versions au total)
Algèbre et géométrie , Combes (utilisée dans 40 versions au total)
Nouvelles histoires hédonistes de groupes et géométrie, tome 2, Philippe Caldero et Jérôme Germoni (utilisée dans 37 versions au total)
Statistique mathématique en action, Rivoirard, Stoltz (utilisée dans 9 versions au total)
Géométrie , Tauvel (utilisée dans 11 versions au total)
Cours de géométrie, Dany-Jack Mercier (utilisée dans 10 versions au total)
L'oral à l'agrégation de mathématiques - Une sélection de développements , Isenmann, Pecatte (utilisée dans 144 versions au total)
131 Développements pour l’oral, D. Lesesvre, P. Montagnon, P. Le Barbenchon, T. Pierron (utilisée dans 75 versions au total)
Introduction to Lie Algebras and Representation Theory, Humphreys (utilisée dans 4 versions au total)
Histoires hédonistes de groupes et géométries, Tome 2, Caldero, Germoni (utilisée dans 20 versions au total)