Leçon 171 : Formes quadratiques réelles. Coniques. Exemples et applications.

(2024) 171

Dernier rapport du Jury :

(2024 : 171 - Formes quadratiques réelles. Coniques. Exemples et applications.) Dans cette leçon, la loi d'inertie de Sylvester doit être présentée ainsi que l'orthogonalisation simultanée. L'algorithme de Gauss doit être énoncé et pouvoir être mis en oeuvre sur une forme quadratique simple ; le lien avec la signature doit être clairement énoncé et la signification géométrique des deux entiers r et s composant la signature d'une forme quadratique réelle doit être expliquée. La différentielle seconde d'une fonction de plusieurs variables est une forme quadratique importante qui mérite d'être présentée dans cette leçon. La définition et les propriétés classiques des coniques d'un plan affine euclidien doivent être connues. On peut présenter les liens entre la classification des formes quadratiques et celles des coniques ; de même il est intéressant d'évoquer le lien entre le discriminant de l'équation $ax^2+bx+c$ et la signature de la forme quadratique $ax^2+bxy+cy^2$. La classification des quadriques n'est pas exigible, mais des situations particulières doivent pouvoir être discutées. Pour aller plus loin, les candidates et candidats peuvent aussi aller vers la théorie des représentations et présenter l'indicatrice de Schur-Frobenius qui permet de réaliser une représentation donnée sur le corps des réels.

(2022 : 171 - Formes quadratiques réelles. Coniques. Exemples et applications.) Dans cette leçon, la loi d'inertie de Silvester doit être présentée ainsi que l'orthogonalisation simultanée. L'algorithme de Gauss doit être énoncé et pouvoir être expliqué sur une forme quadratique de R3 ; le lien avec la signature doit être clairement énoncé et la signification géométrique des deux entiers r et s composant la signature d'une forme quadratique réelle doit être expliqué. La différentielle seconde d'une fonction de plusieurs variables est une forme quadratique importante qui mérite d'être présentée dans cette leçon. La définition et les propriétés classiques des coniques d'un plan affine euclidien doivent être connues. On peut présenter les liens entre la classification des formes quadratiques et celles des coniques ; de même il est intéressant d'évoquer le lien entre le discriminant de l'équation $ax^2 + bx +c = 0$ et la signature de la forme quadratique $ax^2 + bxy + cy^2$. S'ils le désirent, les candidats peuvent aussi aller vers la théorie des représentations et présenter l'indicatrice de Schur-Frobenius qui permet de réaliser une représentation donnée sur le corps des réels.
(2019 : 171 - Formes quadratiques réelles. Coniques. Exemples et applications.) Dans cette leçon, la loi d’inertie de Silvester doit être présentée ainsi que l’orthogonalisation simultanée. L’algorithme de Gauss doit être énoncé et pouvoir être expliqué sur une forme quadratique de $\textbf{R}^3$ ; le lien avec la signature doit être clairement énoncé et la signification géométrique des deux entiers r et s composant la signature d’une forme quadratique réelle doit être expliqué. La différentielle seconde d’une fonction de plusieurs variables est une forme quadratique importante qui mérite d’être présentée dans cette leçon. $\\$ La définition et les propriétés classiques des coniques d’un plan affine euclidien doivent être connues. On peut présenter les liens entre la classification des formes quadratiques et celles des coniques ; de même il est intéressant d’évoquer le lien entre le discriminant de l’équation $ax^2+by+c=0$ et la signature de la forme quadratique $ax^2+bxy+cy^2$. $\\$ S’ils le désirent, les candidats peuvent aussi aller vers la théorie des représentations et présenter l’indicatrice de Schur-Frobenius qui permet de réaliser une représentation donnée sur le corps des réels.
(2017 : 171 - Formes quadratiques réelles. Coniques. Exemples et applications.) Dans cette leçon, la loi d’inertie de Silvester doit être présentée ainsi que l’orthogonalisation simultanée. L’algorithme de Gauss doit être énoncé et pouvoir être expliqué sur une forme quadratique de $R^3$; le lien avec la signature doit être clairement énoncé et la signification géométrique des deux entiers r et s composant la signature d’une forme quadratique réelle doit être expliqué. La différentielle seconde d’une fonction de plusieurs variables est une forme quadratique importante qui mérite d’être présentée dans cette leçon. La définition des coniques affines non dégénérées doit être connue, et les propriétés classiques des coniques doivent être données. On pourra présenter les liens entre la classification des formes quadratiques et celles des coniques ; de même il est intéressant d’évoquer le lien entre le discriminant de l’équation et la signature de la forme quadratique $ax^2 + bxy + cy^2$. S’ils le désirent, les candidats peuvent aussi aller vers la théorie des représentations et présenter l’indicatrice de Schur-Frobenius qui permet de réaliser une représentation donnée sur le corps des réels.
(2016 : 171 - Formes quadratiques réelles. Exemples et applications.) Dans cette leçon, la loi d’inertie de Silvester doit être présentée ainsi que l’orthogonalisation simultanée. L’algorithme de Gauss doit être énoncé et pouvoir être expliqué sur une forme quadratique de $R^3$ le lien avec la signature doit être clairement énoncé et la signification géométrique des deux entiers $r$ et $s$ composant la signature d’une forme quadratique réelle doit être expliqué. La différentielle seconde d’une fonction de plusieurs variables est une forme quadratique importante qui mérite d’être présentée dans cette leçon. La définition des coniques affines non dégénérées doit être connue, et les propriétés classiques des coniques doivent être données. On pourra présenter les liens entre la classification des formes quadratiques et celles des coniques ; de même il est intéressant d’évoquer le lien entre le discriminant de l’équation $ax^2 + bx + c = 0$ la signature de la forme quadratique $ax^2 + bxy + cy^2 $ S’ils le désirent, les candidats peuvent aussi aller vers la théorie des représentation et présenter l’indicatrice de Schur-Frobenius qui permet de réaliser une représentation donnée sur le corps des réels.
(2015 : 171 - Formes quadratiques réelles. Exemples et applications.) La preuve de la loi d'inertie de Silvester doit être connue ainsi que l'orthogonalisation simultanée. Le candidat doit avoir compris la signification géométrique des deux entiers $r$ et $s$ composant la signature d'une forme quadratique réelle ainsi que leur caractère classifiant. La différentielle seconde d'une fonction de plusieurs variables est une forme quadratique importante. Pour les candidats de bon niveau, l'indicatrice de Schur-Frobenius, sur la possibilité de réaliser une représentation donnée sur le corps des réels, permet une belle incursion de la théorie des représentations dans cette leçon.
(2015 : 180 - Coniques. Applications.) La définition des coniques affines non dégénérées doit être connue. Les propriétés classiques des coniques doivent être présentées. Bien distinguer les notions affines, métriques ou projectives, la classification des coniques étant sensiblement différente selon le cas. Souvent le candidat annonce qu'il va "classifier les coniques" mais sans être capable de préciser la nature de cette classification. Plus généralement, il serait bien que les candidats aient réfléchi à ce que l'on entend par "classification" en mathématiques. On peut se situer sur un autre corps que celui des réels. Le lien entre classification des coniques et classification des formes quadratiques peut être établi à des fins utiles.
(2014 : 171 - Formes quadratiques réelles. Exemples et applications.) La preuve de la loi d'inertie de Silvester doit être connue ainsi que l'orthogonalisation simultanée. Le candidat doit avoir compris la signification géométrique de ces deux entiers composant la signature d'une forme quadratique réelle ainsi que leur caractère classifiant. La différentielle seconde d'une fonction de plusieurs variables est une forme quadratique importante. Pour les candidats de bon niveau, l'indicatrice de Schur-Frobenius, sur la possibilité de réaliser une représentation donnée sur le corps des réels, permet un belle incursion de la théorie des représentations dans cette leçon.
(2014 : 180 - Coniques. Applications.) La définition des coniques affines non dégénérées doit être connue. Les propriétés classiques des coniques doivent être présentées. Bien distinguer les notions affines, métriques ou projectives, la classification des coniques étant sensiblement différente selon le cas. On peut se situer sur un autre corps que celui des réels. Le lien entre classification des coniques et classification des formes quadratiques peut être établi à des fins utiles.

Développements :

Plans/remarques :

2025 : Leçon 171 - Formes quadratiques réelles. Coniques. Exemples et applications.

  • Auteur :
  • Remarque :
    Méta-plan appris pour le jour J. Fait en juin 2024 et non validé par une personne compétente.

    I. Formes quadratiques
    1) Formes bilinéaires, formes quadratiques
    2) Matrice, rang, noyau
    3) Formes positives et définies positives
    II. Orthogonalité, réduction et classification
    1) Ortho (DVT : O(q))
    2) Réduction de Gauss (DVT Sylvester)
    3) Orthogonalisation simultanée
    III. Coniques et quadriques
    1) Coniques
    2) Quadriques


  • Auteur :
  • Remarque :
    Plans faits pendant l'année à 3. Pas toujours vérifiés ni forcément aboutis. N'étaient pas faits pour être partagés donc il y a des commentaires/remarques personnelles que vous ne comprendrez sûrement pas ! En espérant que le métaplan puisse tout de même aider !
  • Fichier :

2024 : Leçon 171 - Formes quadratiques réelles. Coniques. Exemples et applications.

  • Auteur :
  • Remarque :
    Je suis restée dans les notions classiques car je n'ai pas le niveau d'explorer des horizons trop compliqués, j'espère que ça vous aidera à avoir une idée de ce qui peut être fait.
    Mes plans ne sont pas vérifiées donc il faut garder un regard critique sur ces derniers. En les révisant j'ai trouvé beaucoup de coquilles et fautes de frappes, j'ai essayé d'en corriger un maximum mais il est évident qu'il en reste encore, désolée pour cela.

    Les remarques en rose ne font pas partie du plan, c'était des remarques pour quand je les réviserai.

    Bon courage pour votre préparation !
  • Références :
  • Fichier :
  • Auteur :
  • Remarque :
    J'aime pas trop cette leçon. Elle faisait partie du couplage que j'ai tiré aux oraux de cette année.

    Les références sont indiquées à la fin du plan. N'hésitez pas à me contacter pour me signaler toute erreur ou imprécision.
  • Fichier :
  • Auteur :
  • Remarque :
    J'ai présenté cette leçon en classe au mois d'avril.
    J'ai encadré les THM23, DEF 24, COR25 mais il ne faut pas en tenir compte. Pour cette leçon, il faut vraiment se concentrer sur la théorie dans $\mathbb{R}$, alors que dans la 170, on peut (et même on doit) parler de ce qui se passe sur $\mathbb{C}$ voire sur $\mathbb{F}_q$.
    Il faut bien savoir décomposer en carrés par la méthode de Gauss en pratique et en tirer toutes les infos sur la forme quadratique : rang, signature, base $q$-orthogonale,...
    Concernant les coniques : même en ayant passé beaucoup de temps dessus, j'étais pas vraiment à l'aise... On trouve très difficilement des références où les choses sont VRAIMENT bien faites... Il y a Ladegaillerie et surtout le livre de Michèle Audin et celui de Aebischer (Géométrie L3)... Le problème est que selon les ouvrages, le vocabulaire peut changer... Et que le point de vue va très vite vers la géométrie projective que je voulais éviter à tout prix (un trop gros investissement juste pour cette leçon... En plus c'est hors programme...)
    Je pense qu'il faut parler de la classification euclidienne et affine, savoir classifier une conique en pratique (même si personnellement j'étais toujours fébrile quand il s'agissait du cas parabolique). L'un de mes professeurs disait qu'il fallait bien parler de l'aspect géométrique par foyer, génératrice, excentricité, définition monofocale, bifocale et tout ça... Il avait à dire que le jury était constitué soit de profs pas du tout à l'aise avec les coniques, soit de profs à l'aise seulement avec l'aspect géométrique... Je pense que dans tous les cas, le jury sait que c'est une notion très peu connue des candidats et que savoir classifier, c'est déjà pas mal, pas besoin d'aller s'aventurer dans les dingueries du Ladegaillerie ou même du Rombaldi avec le centre orthoptique ou je ne sais quoi...
    Concernant le DEV 2 (Par 5 points passe une conique), il m'a demandé beaucoup de travail mais il se recase dans la 191 aussi donc c'est pas mal. Je le trouve pas mal en vrai, ça permet de travailler les coordonnées barycentriques... Pour le trouver dans un ouvrage par contre bonne chance... Il n'y a que le livre de Isenmann et Pecatte (qui sont d'ailleurs je crois les auteurs de ce site).
    Bref, voilà une proposition de leçon 171, je pense qu'il faut très bien bosser les formes quadratiques et se tenir quand même un peu au courant de la classification des coniques et des aspects géométriques mais ne pas y passer des semaines et des week-end entiers...

    Au besoin, j'ai un poly de cours sur les formes quadratiques qui est plutôt bien fait, n'hésitez pas à me contacter pour que je vous l'envoie. Malheureusement, je n'ai pas d'analogue sur les coniques...
  • Références :
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    Retrouvez tous nos plans de leçons ainsi que les fichiers latex associés à nos leçons sur notre site : https://sites.google.com/view/tribalchiefandwiseman/home?authuser=0
    Bonne preparation à vous !
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  • Remarque :
    Pour cette leçon, il faut vraiment se concentrer sur la théorie dans R uniquement. Ainsi, il faut savoir décomposer en carrés par la méthode de Gauss en pratique et en tirer toutes les infos sur la forme quadratique : rang, signature, base q-orthogonale, etc. afin de les classifier.
    Quant aux coniques, elles ne sont plus du tout enseignés donc il faut tout apprendre dessus et il y a malheureusement très peu de références où les choses sont vraiemnt bien faites pour bien découvrir les choses... Il y a le Ladegaillerie et surtout le livre de Michèle Audin et celui de Aebischer (Géométrie L3). Le problème est que selon les ouvrages, le vocabulaire peut changer donc il faut essayer de prendre du recul pour bien comprendre les objets (pas si évident...) et que le point de vue va très vite vers la géométrie projective qu'il faut éviter si l'on ne connaît pas (bien trop gros investissement pour ce que ça rapporte...) ! Il faut parler de la classification euclidienne et affine, savoir classifier une conique en pratique (ce qui est déjà pas mal du tout je pense).Il faut également bien parler de l'aspect géométrique par foyer, génératrice, excentricité, définition monofocale, bifocale, etc. Le jury était constitué soit de professeurs pas du tout à l'aise avec les coniques, soit de professeurs à l'aise seulement avec l'aspect géométrique... Dans tous les cas, le jury sait que c'est une notion très peu connue des candidats et que savoir classifier, c'est déjà pas mal, pas besoin d'aller s'aventurer dans les choses très poussées !

    N'hésitez pas à me contacter si vous constatez ce qui semble être une erreur (typographie, mathématique, etc).
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2023 : Leçon 171 - Formes quadratiques réelles. Coniques. Exemples et applications.

  • Auteur :
  • Remarque :
    Toutes les références, ainsi que les pages, sont mises dans le plan.
    Plan réalisé non sans mal dans l'année en binôme (je le remercie pour les jolis tracés de coniques =D), ce qui explique sa longueur bien trop conséquente. On peut entre autres retirer les parties liées aux développements. On peut toujours pousser plus loin la partie sur les coniques si on est à l'aise (attention aux questions !)...
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    Possibilité d'avoir ma version complète manuscrite en me contactant par mail.
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2022 : Leçon 171 - Formes quadratiques réelles. Coniques. Exemples et applications.


2020 : Leçon 171 - Formes quadratiques réelles. Coniques. Exemples et applications.

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  • Remarque :
    Toutes les références sont à la fin du plan.

    Mes excuses pour l'écriture, et attention aux coquilles...
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2019 : Leçon 171 - Formes quadratiques réelles. Coniques. Exemples et applications.


2018 : Leçon 171 - Formes quadratiques réelles. Coniques. Exemples et applications.


2017 : Leçon 171 - Formes quadratiques réelles. Coniques. Exemples et applications.


2016 : Leçon 171 - Formes quadratiques réelles. Exemples et applications.


2015 : Leçon 171 - Formes quadratiques réelles. Exemples et applications.


2016 : Leçon 180 - Coniques. Applications.


2015 : Leçon 180 - Coniques. Applications.


Retours d'oraux :

2025 : Leçon 171 - Formes quadratiques réelles. Coniques. Exemples et applications.

  • Leçon choisie :

    171 : Formes quadratiques réelles. Coniques. Exemples et applications.

  • Autre leçon :

    150 : Polynômes d’endomorphisme en dimension finie. Réduction d’un endomorphisme en dimension finie. Applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Etude de O(p,q)

  • Autre(s) développement(s) proposé(s):

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Questions du jury:

    Sur le développement:

    On m'a demandé de préciser la topologie que je mettais sur les matrices dans mon développement. J'ai dis que c'était celle associée à la norme $2$ $\norm[A]_2=\sqrt{Tr(A^{T}A)}$. On m'a demandé si ça avait une importance, j'ai dis que non par équivalence des normes en dimension finie. On m'a demandé pourquoi $O_n$ est compact (j'avais dis que $O(p,q)$ était compact ssi $p=0$ ou $q=0$ à la fin de mon dév en disant qu'on savait que $O(n)$ est compact). J'ai donc dis qu'il était bornée par $\sqrt{n}$ pour la norme que j'avais introduite, et qu'il était fermée comme image réciproque de $I_n$ par $M \mapsto M^T M$, ce qui conclut car on est en dimension finie.

    Montrer que l'exponentielle est un homéomorphisme de $S_n(\R)$ sur $S_n^{++}(\R)$. Il ne m'ont laissé le temps de faire que la surjectivité et de justifier que $exp(P^{-1}AP)=P^{-1}exp(A)P$ avant de changer de question. Ils voulaient que je donne explicitement l'application continue dont j'avais besoin (c'est-à-dire $\psi : B \mapsto P^{-1} B P$), et que je précise pourquoi elle est continue (linéaire en dimension finie).
    Ils m'ont demandé de démontrer l'existence et l'unicité de la décomposition polaire. J'ai expliqué que pour l'existence, on applique le théorème spectral à $P^t P$ pour prendre les racines carrés de ses valeurs propres (un peu comme dans la surjectivité de l’exponentielle où on avait prit le log). Pour l'unicité, j'explique pourquoi on a $S^2=S'^{2}$, et qu'il suffit de voir que $S$ et $S'$ commutent pour conclure, ce qui est vrai car $S'$ est un polynôme en $S$. Le gars me dit "c'est ça", et on change de question.

    Exos à part + sur le plan :

    On m'a demandé la signature de $q(a,b,c)=(a-b)^2+(a-c)^2-(b-c)^2$.
    J'ai commencé par dire qu'on ne pouvait pas dire "on a une somme de carré donc la signature est $(2,1)$", car les formes linéaires ne sont pas indépendante. (car $(a-b)-(a-c)+(b-c)=0$). Du coup, on développe, et avec l'algo de Gauss, on obtient:
    $q=2a^2 -2ab-2ac+2bc$. Ensuite, on forme un carré en appliquant l'algo de Gauss:
    $q=(\sqrt{2}a-\frac{1}{\sqrt{2}}b-\frac{1}{\sqrt{2}}c)^2-(\frac{1}{\sqrt{2}}b-\frac{1}{\sqrt{2}}c)^2$
    donc la signature est $(1,1)$. En particulier, la forme quadratique est dégénérée.

    On m'a demandé dans le thm d'inertie de Sylvester de caractériser les entiers $r,s$ de la signature à l'aide de dimension maximale où la forme quadratique est définie positive. $r$ est la dimension maximale tq il existe un sev $F$ de $E$ de dimension $r$ tq $q$ est définie positive, $s$ est la dimension maximale tq il existe un sev $G$ de $E$ de dimension $s$ tq $q$ est définie négative.

    Dans ma partie sur le calcul différentiel, j'avais mis un contre-exemple au lemme de Schwartz venant du Hauchecorne (pour échanger les dérivées partielles), quand la fonction n'est pas deux fois différentiables, et qu'on suppose seulement que les dérivées partielles d'ordre 2 existent. Il m'a dit qu'il n'était pas clair que l'application était continue en $0$, je lui ai dis qu'on utilisait $|ab|\leq \frac{1}{2}(a^2+b^2)$ et il était content.

    Il m'a demandé de justifier la log concavité du déterminant que j'avais mis en application du théorème de réduction simultanée.

    Il m'a demandé comment on démontrait la classification euclidienne des coniques. Je lui ai dis qu'on utilisait le thm de réduction simultanée pour que le repère soit orthonormé (on n'en aurait pas eu besoin pour la classification affine typiquement), et le temps que je retrouve qu'on appliquer ce thm sur la forme quadratique homogénéisé $Q$ et non sur $q$, il me dit que l'oral est fini donc je suis un peu frustré à la fin.

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Le jury était plutôt sympathique, et celui qui dirigeait l'échange (au milieu) enchaînait les questions tout en restant agréable. J'ai beaucoup apprécié ce membre du jury, puisqu'il me posait beaucoup de questions sur les démonstrations du plan en allant vite pour balayer le plus de choses possible, ce qui me convenait à merveille.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Oui, j'ai juste eu une frayeur car il me restait seulement 35 minutes à la fin de la préparation pour revoir mes deux développements, mais ça l'a fait car je les connaissais bien.

  • Note obtenue :

    17.25


Références utilisées dans les versions de cette leçon :

Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie, Jean Etienne Rombaldi (utilisée dans 531 versions au total)
Algèbre , Gourdon (utilisée dans 341 versions au total)
Algèbre linéaire , Grifone (utilisée dans 102 versions au total)
Géométrie , Ladegaillerie (utilisée dans 8 versions au total)
Manuel de Mathématiques volume 4, Debeaumarché (utilisée dans 3 versions au total)
Géométrie, Audin (utilisée dans 35 versions au total)
Analyse , Gourdon (utilisée dans 627 versions au total)
Cours d'algèbre , Perrin (utilisée dans 449 versions au total)
Géométrie analytique classique , Eiden (utilisée dans 17 versions au total)
Objectif Agrégation, Beck, Malick, Peyré (utilisée dans 299 versions au total)
Histoires hédonistes de groupes et géométries, Tome 1, Caldero, Germoni (utilisée dans 122 versions au total)
Petit guide de calcul différentiel , Rouvière (utilisée dans 236 versions au total)
L'oral à l'agrégation de mathématiques - Une sélection de développements , Isenmann, Pecatte (utilisée dans 167 versions au total)
Cours de Mathématiques - 1 Algèbre, Arnaudiès - Fraysse (utilisée dans 15 versions au total)
Geometry I and II , Berger (utilisée dans 3 versions au total)
Invitation aux formes quadratiques , Seguin (utilisée dans 5 versions au total)
Cours d'analyse , Pommelet (utilisée dans 48 versions au total)
Oraux X-ENS Algèbre 3 , Francinou, Gianella, Nicolas (utilisée dans 78 versions au total)
Histoires hédonistes de groupes et géométries, Tome 2, Caldero, Germoni (utilisée dans 20 versions au total)
Manuel de mathématiques VOL3 Analyse et géométrie différentiel , Debeaumarché (utilisée dans 1 versions au total)