Théorème des restes chinois et application

Le dev est au recto, lemmes et autres appli au verso.
Réf : Rombaldi p.249 et 291
Recasage : 120, 122, 142

Remarque : Résultat à connaître, à savoir appliquer sur des exemples simples, et bien connaître la formule de l'indicatrice d'Euler en appli. Je vous conseille de faire un plan pour la démo du théorème

Théorème de Sylow (version opération de groupes)

Le dev est au recto, lemmes et autres appli au verso.
Réf : Perrin p.18-20
Recasage : 101, 103, 104, 190

Remarque : Résultat important, à savoir appliquer et bien connaître les exemples simples (c'est le cas de le dire). Je vous conseille de numéroter les 4 théorèmes sur le plan de leçon et sur le tableau, et d'être rapide car le dev est long

Isométries du cube

Le dev est au recto, lemmes et autres remarques au verso.
Réf : Le cours d'un enseignant, se retient facilement
Recasage : 101, 104, 105, 108, 161, 191

Remarque : Résultat très sympa. Connaissez bien la correspondance (le jury peut vous poser la question). Je vous conseille de faire un plan de démo en 4 item et de prendre votre temps (faites un dessin !)

Simplicité du groupe alterné An

Le dev est au recto, lemmes et autres appli au verso.
Réf : Rombaldi p.49-51 et p.65
Recasage : 103, 104, 105, 108

Remarque : Résultat à connaître, à savoir utiliser (groupe dérivé de Sn par exemple), bien connaître les cas A1, A2, A3 et A4. Je vous conseille de prendre votre temps et de pas paniquer dans les calculs à la fin

Irréductibilité des polynômes cyclotomiques et application aux extensions finies de Q

Le dev est au recto, lemmes et autres appli au verso.
Réf : Bricolage personnel de plusieurs versions, Ortiz p.169 pour l'appli
Recasage : 102, 125 (risqué), 141, 144

Remarque : Résultat intéressant. Bien connaître les 2 premiers lemmes au verso. En application les extensions cyclotomiques (Gozard). Sachez bien justifier le recasage dans la 123 car c'est risqué ! Je vous conseille de savoir faire proprement la récurrence et d'être rapide car le dev est long

Construction des corps finis

Le dev est au recto, lemmes et autres appli au verso.
Réf : Gozard p.85 et p.87
Recasage : 123, 125, 141, 144

Remarque : Résultat à connaître. Connaître des exemples simples (F4 ou F9). Bien connaître les lemmes au verso (sous groupe fini d'un corps est cyclique). Je vous conseille de numéroter les 3 résultats sur le plan de leçon et sur le tableau, et de prendre votre temps car le dev est court.

Nombres de Carmichael et théorème de Korselt

Le dev est au recto, exemples au verso.
Réf : Rombaldi p.329-330
Recasage : 120, 121, 127, 142 (risqué)

Remarque : Dev original ! Le 1er lemme est pour justifier le recasage (bancal) de la 142. Connaître les exemples au verso (561 et 1105). Savoir que le sous groupe fini d'un corps est cyclique. Attention Mathis Lemay a raison, il manque l'argument du théorème Chinois dans le Rombaldi. Je vous conseille de prendre votre temps car le dev demande de la concentration. Pour la culture, il existe une infinité de nombre de Carmichaël et la preuve est récente !

L'anneau Z[1+i sqrt(19) / 2]

Le dev est au recto, autres lemmes au verso.
Réf : Perrin p.54-55
Recasage : 122, 127

Remarque : Dev intéressant, mais a le défaut d'être juste un contre exemple. Connaître les premiers lemmes au verso. Bien savoir utiliser le théorème d'isomorphisme. Admettez le lemme de division pseudo euclidienne, la démo est pas intéressante dans le dev, par contre connaissez l'idée de démo qu'on utilise dans les anneaux Z[w] (on fait la division euclidienne dans Q[w] puis on récupère des entiers pas trop loin pour avoir la division dans Z[w] ). Je vous conseille de faire un plan au tableau en 3 item, et prendre votre temps à la fin pour pas être perdu.

L'exponentielle induit un homéomorphisme entre Sn(R) et Sn(R)++

Le dev est au recto, lemmes et appli au verso.
Réf : Rombaldi p.771 et p.780
Recasage : 152, 153 (pas fou), 155, 157, 158

Remarque : Dev sympa, mais qui spam le théorème spectral. Le 1er lemme est pour justifier le recasage (bancal) de la 153. Connaître les lemmes au verso. En application on a un homéo avec le groupe d'isométrie d'une forme quadratique réelle (au verso) qui peut aussi être un dev. Je vous conseille d'être rapide au début, et de faire un plan au tableau en 4 item

Réduction des endomorphismes nilpotents (par dualité)

Le dev est au recto, exemples et appli au verso.
Réf : Rombaldi p.679-681
Recasage : 148 (si le 2e dev n'est pas une récurrence sur la dim) 151, 156, 159

Remarque : Dev sympa. Le lemme est le coeur de la démo, le théorème est une récurrence immédiate. Connaître les appli au verso (réduction de Jordan). Recopier dans le plan des exemples de réduite de nilpotent (et de Jordan) et savoir les faire. Je vous conseille de prendre votre temps car le dev est très court. De plus, je vous conseille de faire un plan de démo du lemme en 4 item, pas fait ici mais je l'ai fait le jour J avec :
1 - Construction de F et G
2 - F et G stables par u
3 - dim F + dim G = dim E
4 - F + G = E somme directe

Dénombrement des automorphismes diagonalisables de Fq

Le dev est au recto, lemmes et autres exemples au verso.
Réf : Rombaldi p.203-206
Recasage : 101, 104 (on peut trouver mieux), 106, 123, 152, 190

Remarque : Développement original qui utilise plein de notions. Vous pouvez admettre des lemmes du Rombaldi pour gagner du temps car le dev peut être long. Je vous conseille de vous appropriez les résultats pour les raconter à votre façon

Réduction des endomorphismes normaux

Le dev est au recto, corollaires au verso.
Réf : Rombaldi p.743 - 745 et Gourdon p.271 - 272
Recasage : 148, 150, 151, 158

Remarque : Développement classique. Le lemme justifie très bien le recasage dans la 151. J'ai mélangé les démo du Rombaldi et du Gourdon pour utiliser un peu plus les polynômes d'endomorphisme. Je vous conseille de prendre votre temps, le dev est court

Loi d’inertie de Sylvester et classification des formes quadratiques sur R

Le dev est au recto, exemples au verso.
Réf : Rombaldi p.476 - 477 et Gourdon p.243 - 246
Recasage : 148, 159, 170, 171

Remarque : Développement intéressant qui utilise dualité, dimension et formes quadratiques. Dans ma version j'ai mélangé les démo du Rombaldi et du Gourdon pour justifier au mieux le recasage. Sachez calculer la signature d'une forme quadratique avec l'algo de Gauss. Je vous conseille d'être efficace, le dev peu être long

Critère de Sylvester et applications

Réf : Rombaldi p.738 et Gourdon p.359 - 361
Recasage : 149, 157, 170, 171

Remarque : Développement sympa. Le théorème et la première appli viennent du Gourdon. La deuxième appli vient du Rombaldi (qui d'ailleurs contient une erreur dangereuse, Sn++ est un ouvert de Sn et pas de Mn). Le recasage dans la 149 est ici bien justifié. Je vous conseille d'être efficace dans les explications

Dunford et l'exponentielle de matrice

Le dev est au recto, lemmes et exemples au verso
Réf : Rombaldi p.613 et p.765 - 766
Recasage : 150, 152, 155, 156

Remarque : Développement classique, et résultats à connaitre. Sachez donner la décomposition de Dunford d'une matrice, puis donner son exponentielle. Je vous conseille de glisser des hameçons dans le dev, ie aller vite sur des détails pour que le jury vous interroge dessus (co-diagonalisation, diag + nilp => nul, exp(u) est un polynôme en u etc)

Suite de polygones

Le dev est au recto, quelques commentaires sur les matrices circulantes au verso
Réf : Caldero p.45 - 47 et Gourdon p.190
Recasage : 102, 127, 152, 153, 181, 191, 226

Remarque : Développement original, et qui se recase dans pas mal de leçon différentes. Le lemme parle de matrices circulantes et se raconte de plein de façons. Pour le théorème je vous conseille de faire un dessin au tableau !

Matrices minimisant la norme sur SL_n(R)

Le dev est au recto, lemmes au verso
Réf : Gourdon p.330, 333, 341
Recasage : 149, 206, 214, 215, 219

Remarque : Développement original. La proposition justifie mieux le recasage dans la 206 et le théorème est indispensable pour la 149. Je vous conseille d'être assez rapide, ou de retirer la proposition pour gagner du temps

Equivalence des normes en dimension finie et théorème de Riesz

Le dev est au recto, lemmes et appli au verso
Réf : Rombaldi p.45 et Gourdon p.50, 56, 57
Recasage : 148, 201, 203, 206, 208

Remarque : Développement classique à connaître. Sachez démontrer le lemme de distance à un sev (de dim finie) atteinte. Je vous conseille de connaître les applications classiques des résultats.

Équation de Sylvester : AX + BX = C

Le dev est au recto, remarque au verso sur le produit de Kronecker
Réf : Gourdon p.330, 333, 341
Recasage : 155, 156, 162, 221

Remarque : Développement original qui mélange plein de notion. Cependant, pour la 155 et la 156 je pense qu'on peut trouver mieux. Je vous conseille de faire un plan en 3 items pour le théorème.

Générateurs de GL_n(K) et SL_n(K) et application à la connexité

Le dev est au recto, corollaire au verso
Réf : Rombaldi p.688 - 689
Recasage : 106, 108, 162, 204

Remarque : Développement intéressant qui mélange plusieurs notions. Je vous conseille de savoir donner la décomposition LU / en produit de transvection et dilatation d'une matrice. Je vous conseille de faire un plan en 4 items pour le théorème, et de prendre votre temps pour ne pas vous tromper avec les transvections.

Fonction dont la différentielle en tout point est une isométrie

Le dev est au recto, lemmes au verso
Réf : Gourdon p.350 et Szpirglas p.390
Recasage : 161, 204, 214, 215

Remarque : Développement très original ! Pour la 161, il faut mettre le premier théorème (isométrie <=> affine de partie linéaire orthogonale). Pour les leçons d'analyse, il vaut mieux proposer à la place le dernier lemme au verso (sur un ouvert connexe, différentielle nulle <=> constante). Je vous conseille de faire un plan en 3 items pour le résultat principal.