Développement : Réduction des endomorphismes nilpotents (par dualité)

Détails/Enoncé :

Soit $u\in\mathcal{L}(E)$ un endomorphisme nilpotent. Alors il existe une base de E dans laquelle la matrice de $u$ est de la forme
\[\begin{pmatrix}
0 & \dots & \dots & \dots & 0 \\
\varepsilon_1 & \ddots & & & \vdots \\
0 & \ddots & \ddots & & \vdots \\
\vdots & & \ddots & \ddots \\
0 & \dots & \dots & \varepsilon_{n-1} & 0
\end{pmatrix}\]

Recasages pour l'année 2026 :

Versions :

  • Auteur :
  • Remarque :
    Le dev est au recto, exemples et appli au verso.
    Réf : Rombaldi p.679-681
    Recasage : 148 (si le 2e dev n'est pas une récurrence sur la dim) 151, 156, 159

    Remarque : Dev sympa. Le lemme est le coeur de la démo, le théorème est une récurrence immédiate. Connaître les appli au verso (réduction de Jordan). Recopier dans le plan des exemples de réduite de nilpotent (et de Jordan) et savoir les faire. Je vous conseille de prendre votre temps car le dev est très court. De plus, je vous conseille de faire un plan de démo du lemme en 4 item, pas fait ici mais je l'ai fait le jour J avec :
    1 - Construction de F et G
    2 - F et G stables par u
    3 - dim F + dim G = dim E
    4 - F + G = E somme directe
  • Référence :
  • Fichier :

Références utilisées dans les versions de ce développement :

Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie, Jean Etienne Rombaldi (utilisée dans 762 versions au total)