Transfert de factorialité de Gauss

- Lemme de Gauss sur le contenu d'un produit de polynômes ;
- Description des irréductibles de $A[X]$ en fonction de ceux de $A$ et de ceux de $\mathrm{Frac}(A)[X]$ ;
- Transfert de factorialité de $A$ à $A[X]$ ;
- Compléments : autre preuve du lemme de Gauss plus efficace et plus conceptuelle / discussions autour des anneaux de polynômes en plusieurs variables, voire en un nombre infini dénombrable de variables pour construire des exemples classiques d'anneaux factoriels non principaux, ou factoriels non noethériens.

Leçons concernées : 122, 141, 142

Algorithme de Berlekamp

- Théorème de décomposition des polynômes sur un corps fini ;
- Application à l'irréductibilité d'un polynôme de $\mathbb{F}_p[X]$ ;
- Complément pour appliquer l'algorithme sur un polynôme quelconque.

Leçons concernées : 123, 141, 142

Automorphismes de Sn

- Calcul des automorphismes de $\mathfrak{S}_n$ pour $n \neq 6$ par la deuxième méthode proposée dans le Perrin : on utilise les actions de certains centralisateurs ;
- Complément sur le cas $n=6$ (on détaille les arguments donnés dans le Perrin).

Leçons concernées : 101, 103, 104, 105, 108

Dénombrement des matrices diagonalisables de Mn(Fq)

- Calcul du cardinal de l'ensemble des matrices diagonalisables de $\mathcal{M}_n(\mathbb{F}_q)$ ;
- Calcul de la probabilité asymptotique d'obtenir une matrice diagonalisable lors d'un tirage uniforme sur $\mathcal{M}_n(\mathbb{F}_q)$ lorsque $q$ tend vers $+\infty$.

Leçons concernées : 101, 123, 152, 190

Par cinq points passe une conique

- Existence d'une conique passant par cinq points quelconques du plan affine ;
- Discussion sur l'unicité d'une telle conique, et sur son caractère non dégénéré (ou propre) ;
- Compléments pour justifier quelques outils utilisés lors du développement.

Leçons concernées : 162, 171, 181, 191

Théorème du min-max de Courant-Fischer et continuité des valeurs propres dans le cas hermitien

- Théorème de Courant-Fischer sur le quotient de Rayleigh ;
- Inégalités de Weyl et conséquence sur la continuité des valeurs propres.

Leçons concernées : 153, 157, 158

Condition de cyclicité des (Z/nZ)^x

- Cyclicité de $(\mathbb{Z}/p^\alpha\mathbb{Z})^\times$ pour $p$ premier impair et $\alpha \geqslant 1$ ;
- Condition sur $n$ pour que $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times$ soit cyclique.

Leçons concernées : 104, 108, 120, 121

Déterminant de Gram, projection sur un sev et inégalité d'Hadamard

- Expression de la distance à un sous-espace par les déterminants de Gram ;
- Inégalité sur le déterminant de Gram et inégalité d'Hadamard.

Leçons concernées : 149, 161

Dimension du commutant

- Invariance du rang par extension ;
- Minoration de la dimension du commutant ;
- Équivalence entre $\mathcal{C}(A) = \mathbb{K}[A]$ et $\mu_A = \chi_A$.

Leçons concernées : 148, 162

Théorème de Dirichlet faible

- Les polynômes cyclotomiques sont dans $\mathbb{Z}[X]$ ;
- Version faible du théorème de Dirichlet.

Leçons concernées : 102, 120, 121

Ellipsoïde de John Loewner

- Expression de la norme d'une matrice symétrique via sa forme quadratique associée ;
- Lemme préliminaire sur les ellipsoïdes ;
- Expression du volume d'un ellipsoïde en fonction du déterminant de la matrice associée à la forme quadratique ;
- Stricte log-concavité du déterminant sur $\mathcal{S}_n^{++}(\mathbb{R})$ ;
- Existence et unicité de l'ellipsoïde de John-Loewner ;
- Compléments : commentaires sur le fait que les ellipsoïdes considérés sont centrés en l'origine / application aux sous-groupes compacts de $\mathrm{GL}_n(\mathbb{R})$.

Leçons concernées : 157, 203, 206, 219, 229, 253

Réduction des endomorphismes normaux

- Un endomorphisme d'un $\mathbb{R}$-espace vectoriel admet toujours une droite ou un plan stable ;
- Si $u$ est normal et $F$ est $u$-stable, alors $F^\perp$ est $u$-stable ;
- Réduction des endomorphismes normaux d'un plan euclidien ;
- Théorème général en dimension quelconque.

Leçons concernées : 150, 151, 152, 158

Endomorphismes semi-simples

- Les projecteurs spectraux sont des polynômes en l'endomorphisme ;
- Décomposition d'un sous-espace stable ;
- Preuve de l'implication $\mu_f$ irréductible $\Rightarrow$ $f$ semi-simple en introduisant une autre structure linéaire ;
- Caractérisation de la semi-simplicité par le polynôme minimal.

Leçons concernées : 122, 150, 151

Enveloppe convexe de On(R)

- Caractérisation de l'appartenance à l'enveloppe convexe fermée d'une partie par les formes linéaires ;
- Calcul de l'enveloppe convexe de $\mathcal{O}_n(\mathbb{R})$ ;
- Compléments : preuve de la projection sur un convexe fermé dans le cadre euclidien / preuve du théorème de Carathéodory et de son corollaire utilisé dans le développement / preuve du fait que les éléments de $\mathcal{O}_n(\mathbb{R})$ sont exactement les points extrémaux de la boule unité de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$.

Leçons concernées : 159, 161, 181

Formes de Hankel

- Définition de la forme $q$ associée à $P = \prod\limits_{k=1}^t(X-\alpha_k)^{m_k} \in \mathbb{R}[X]$ de degré $n$ par $q(R) = \sum\limits_{k=1}^t m_kR(\alpha_k)^2$ pour $R \in \mathbb{R}_{n-1}[X]$ ;
- Lien entre la signature de $q$ et le nombre de racines (réelles et non réelles) distinctes de $P$ ;
- Compléments : comment déterminer la signature de $q$ sans connaître les racines de $P$ en utilisant les sommes de Newton de $P$ / application au degré $2$ pour retrouver les résultats connus sur la résolution des équations quadratiques.

Leçons concernées : 144, 170, 171

Morphismes continus du cercle dans GLn(R)

- Morphismes continus de $\mathbb{R}$ dans $\mathrm{GL}_n(\mathbb{R})$ via l'exponentielle matricielle ;
- Morphismes continus de $\mathbb{S}^1$ dans $\mathrm{GL}_n(\mathbb{R})$ ;
- Compléments : précisions sur le passage $\mathbb{C}$-semblables $\Rightarrow$ $\mathbb{R}$-semblables / lien entre la diagonalisabilité d'une matrice et de son exponentielle.

Leçons concernées : 102, 106, 155

Théorème de Wantzel

- Stabilité des nombres constructibles positifs par racine carrée ;
- Théorème de Wantzel et corollaire sur le degré des nombres constructibles ;
- Impossibilité de la duplication du cube et de la trisection de l'angle.

Leçons concernées : 125, 127, 148, 191

Nombres de Bell

- Formule de récurrence sur les nombres de Bell ;
- Expression explicite par les séries génératrices exponentielles et les développements en série entière.

Leçons concernées : 190, 243

Réduction de Jordan (par la dualité)

- Construction de sous-espaces cycliques par la dualité pour un endomorphisme nilpotent ;
- Réduction de Jordan des endomorphismes nilpotents ;
- Réduction de Jordan générale.

Leçons concernées : 151, 156, 159

Simplicité du groupe alterné An

- Pour $n \geqslant 5$, les $3$-cycles sont $\mathfrak{A}_n$-conjugués et engendrent $\mathfrak{A}_n$ ;
- Pour $n \geqslant 5$, $\mathfrak{A}_n$ est simple ;
- Pour $n \geqslant 5$, les sous-groupes distingués de $\mathfrak{S}_n$ sont $\{\mathrm{id}\}$, $\mathfrak{A}_n$ et $\mathfrak{S}_n$.

Leçons concernées : 103, 105, 108

Critère de nilpotence par la trace et théorème de Burnside

- Critère de nilpotence par la trace en caractéristique nulle ;
- Théorème de Burnside sur les sous-groupes de $\mathrm{GL}_n(\mathbb{C})$ d'exposant fini ;

Leçons concernées : 104, 106, 156

Théorème de Flanders

- Majoration de l'indice de Witt pour une certaine forme quadratique réelle ;
- Théorème de Flanders sur la dimension d'un sous-espace matriciel de rang maximal donné ;
- Tout sous-espace de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ de codimension $< n$ contient une matrice inversible.

Leçons concernées : 148, 149, 170

Théorème des deux carrés de Fermat (par les entiers de Gauss)

- L'anneau des entiers de Gauss est euclidien, d'inversibles $\{\pm1,\pm i\}$ ;
- Un nombre premier $p$ est somme de deux carrés si et seulement si $p = 2$ ou $p \equiv 1\ [4]$ ;
- Théorème des deux carrés de Fermat ;
- Description des irréductibles de $\mathbb{Z}[i]$.

Leçons concernées : 121, 122, 127

Théorème de descente de Springer pour les formes quadratiques

- Réduction au cas d'une extension monogène ;
- Théorème de Springer par récurrence sur le degré impair de l'extension ;
- Remarque sur la nécessité de l'hypothèse "degré impair".

Attention, comme le mentionne Wulfhartus, la référence fait une erreur en affirmant qu'un certain polynôme est de degré pair. Ce n'est a priori pas le cas en général, mais je pense avoir corrigé cette erreur dans ma version.

Leçons concernées : 125, 141, 170

Fonction dont la différentielle en tout point est une isométrie

- Un ouvert de $\mathbb{R}^n$ est connexe ssi il est connexe par lignes brisées ;
- Sur un ouvert connexe, une fonction $\mathcal{C}^1$ de différentielle nulle est constante ;
- Une fonction $\mathcal{C}^1(\mathbb{R}^n,\mathbb{R}^n)$ de différentielle isométrique est isométrique.

Leçons concernées : 204, 214, 215

Espace de Bergman du disque unité

- Contrôle de la métrique associée à la convergence uniforme sur tout compact par la norme $L^2$ ;
- L'espace de Bergman est un espace de Hilbert ;
- Les monômes (normalisés) forment une base hilbertienne ;
- Forme intégrale des fonctions de l'espace de Bergman ;
- Complément sur l'expression de la norme $L^2$ en fonction des coefficients du DSE.

Leçons concernées : 201, 205, 208, 213, 234, 245

Formule de Fourier-Plancherel et calcul de l'intégrale de Dirichlet

- Preuve de la formule $\Vert f \Vert_2 = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \Vert \hat{f} \Vert_2$ ;
- Calcul de l'intégrale de Dirichlet

Leçons concernées : 234, 236, 250

Indécomposabilité de la loi de Poisson par les séries entières

- Preuve (pour s'échauffer) de $X \sim \mathcal{P}(\lambda),\, Y \sim \mathcal{P}(\mu),\, X \perp \!\!\! \perp Y \implies X+Y \sim \mathcal{P}(\lambda+\mu)$ ;
- Preuve d'une sorte de réciproque : si $X \perp \!\!\! \perp Y$ sont des v.a. à valeurs dans $\mathbb{N}$ telles que $X+Y \sim \mathcal{P}(\lambda)$, alors $X$ et $Y$ suivent des lois de Poisson.

Attention au fait que l'on inclus la loi $\delta_0$ dans les lois de Poisson (sinon il faudrait supposer $X$ et $Y$ non presque sûrement nulles, ce qui ne changerait rien au raisonnement). Attention aussi à la terminologie "indécomposable" qui rentre en contradiction avec la notion de lois décomposables (dont fait partie la loi de Poisson) présentée dans Appel "Mathématiques pour l'agrégation externe : probabilités".

Leçons concernées : 243, 245, 261, 264, 266

Billard convexe

- Une ellipse est une sous-variété compacte de dimension $1$ de $\mathbb{R}^2$ ;
- Optimisation de la fonction "périmètre des triangles inscrits dans l'ellipse" ;
- Utilisation des extrema liés pour obtenir la trajectoire du rebond.

Leçons concernées : 206, 214, 215, 219

Paul-Lévy, TCL et applications

- La convergence en loi se teste sur les fonctions continues qui tendent vers $0$ à l'infini (attention, ce n'est pas un résultat de densité !) ;
- Preuve du théorème de Lévy ;
- Rappel de propriétés classiques de la fonction caractéristique ;
- Preuve du théorème central-limite ;
- Application à la construction d'un intervalle de confiance asymptotique pour la loi de Bernoulli.

Leçons concernées : 209, 218, 239, 250, 261, 262, 266

Méthode de Newton

- Convergence quadratique de la méthode de Newton dans le cas général ;
- Précision et amélioration dans le cas d'une fonction strictement convexe.

Leçons concernées : 218, 223, 226, 228, 229, 253

Opérateurs de Hilbert-Schmidt, étude et complétude

- L'espace des opérateurs de Hilbert-Schmidt $\mathcal{HS}(E)$ ne dépend pas du choix d'une base hilbertienne ;
- $\mathcal{HS}(E)$ est un espace de Hilbert et la norme d'opérateur est contrôlée par la norme de Hilbert-Schmidt ;
- Les opérateurs de rang finis sont denses dans $\mathcal{HS}(E)$.

Leçons concernées : 205, 208, 213

Formules de Poisson et Shannon

- Preuve de la formule de Poisson ;
- Application à l'échantillonnage de Shannon ;
- Autre application à l'équation fonctionnelle de la fonction $\Theta$ de Jacobi.

Leçons concernées : 235, 241, 246, 250

Prolongement de la fonction Gamma d'Euler

- Expression de l'intégrale sur $]0,1[$ par une somme ;
- Prolongement méromorphe de $\Gamma$ au plan compexe.

Leçons concernées : 235, 236, 239, 241, 245

Formule de Stirling par le TCL

- Application du TCL et de la convergence dominée à une suite de variables aléatoires de loi $\mathcal{P}(1)$ ;
- Calcul d'intégrales pour obtenir la formule de Stirling.

Leçons concernées : 224, 235, 262, 264

Suite des Arctan itérés

- Équivalent asymptotique d'une suite récurrente "générale" ;
- Application à la suite $u_{n+1} = \arctan(u_n)$, et précision du comportement asymptotique.

Leçons concernées : 223, 224, 226, 230

Théorème de Weierstrass (par la convolution)

- Convergence uniforme de $f \ast \chi_n$ vers $f$ pour une approximation de l'unité $(\chi_n)$ ;
- Choix d'une approximation de l'unité telle que $f \ast \chi_n$ soit polynomiale ;
- Preuve de Théorème de Weierstrass.

Leçons concernées : 201, 203, 209, 228

Expression des zeta(2k)

- Utilisation du théorème de Dirichlet sur les séries de Fourier pour obtenir une expression de $\frac{t}{e^t-1}$ ;
- Développement en série entière de $\frac{t}{e^t-1}$ et expression des $\zeta(2k)$ par identification ;
- Relation de récurrence des nombres de Bernoulli et quelques calculs explicites.

Leçons concernées : 230, 243, 246