Matrices minimisant la norme sur SL_n(R)

Je ne montrais finalement pas le lemme pendant les 15min.

Pour montrer que $\lambda I_n = 2A^TA$, vous pouvez aussi utiliser la linéarité de la trace puis le théorème de Riesz pour dire que $<2A-\lambda (A^-1)^T,H> = 0$ pour tout $H$ $\Rightarrow 2A=\lambda (A^-1)^T$.

Recasages : 149,161,206,215,219.

Dimension d’un espace vectoriel (on se limitera au cas de la dimension finie). Rang. Exemples et applications.

Le Deschamps est top pour toutes les notions de base à introduire. Le plan est trop ambitieux pour être fait en 3h (en tout cas le jour J, j'ai voulu tout bien définir et j'ai pu mettre que la dualité et les formes quadratiques en applications...).

Déterminant. Exemples et applications.

La partie résultant peut être prise dans un live comme le Rombaldi, et finalement mon premier développement n'était que le théorème de Bézout faible.
Je trouve que le développement suite de polygones n'a pas sa place dans cette leçon car en réalité on a seulement besoin des valeurs propres d'une matrice circulante, et elles s'obtiennent avant d'avoir l'expression du déterminant...

Exponentielle de matrices. Applications.

Plan présenté en classe.
Je n'ai trouvé la prop 15 dans aucun livre...
Je pense qu'il faut vraiment avoir quelques contre exemples en tête le jour J (par exemple, pourquoi telle matrice ne serait pas dans l'image de l'exponentielle réelle). Il peut être bien de savoir déduire de la surjectivité sur GLn(C) que GLn(C) est connexe par arcs.

Convexité dans Rn. Applications en algèbre et en géométrie.

Plan présenté en classe.
Je trouve que cette leçon n'est vraiment pas facile, j'ai donc décidé de mettre le "minimum" et ne pas parler d'hyperplans d'appui par exemple (ma version de l'enveloppe convexe de $O_n(\mathbb{R})$ n'en utilise pas). J'ai trouvé plusieurs exos corrigés sur internet qui permettent de comprendre les notions de barycentres et coordonnées barycentriques.
La preuve de Carathéodory est bien faite dans le Gourdon selon moi.
J'ai supprimé l'app 31 car ça n'a pas trop de lien avec la leçon donc ça peut laisser penser au jury que je n'ai pas vraiment compris le thème de la leçon.
En application des coordonnées barycentriques on peut aussi mettre que les médianes d'un triangle se coupent en un unique point qui est l'isobarycentre du triangle.

Exemples d’utilisation des techniques d’algèbre en géométrie.

Contrairement à la majorité, j'adore cette leçon!
Si vous ne souhaitez pas parler de résultant, vous pouvez mettre le théorème de Cartan-Dieudonné en développement.
J'ai parlé de géométrie affine parce que je me sentais à l'aise dessus (il faut en faire un minimum car ça sert pour plusieurs leçons), mais sinon je pense que c'est évitable.

Problèmes d’interversion de symboles en analyse.

Cette leçon peut être motivée par le fait que dès lors que l'on introduit les quantificateurs, on voit qu'on ne peut pas échanger un "pour tout" et un "il existe". Mais pourtant, c'est possible dans certains cas comme avec le théorème de Heine, et après vous en venez à votre plan. En tout cas c'est la défense que j'avais préparé.

Utilisation de la notion de convexité en analyse.

Une annexe est indispensable dans cette leçon selon moi. Je pense aussi que la défense peut reposer sur pleins de dessins.

Groupe opérant sur un ensemble. Exemples et applications.

Je me suis inspiré d'un plan vu sur agreg-maths pour le fait de faire deux parties agir pour mieux connaître l'ensemble/le groupe, et je pense que c'est top car ils parlent de cet aspect dans le rapport du jury.