Leçon 243 : Convergence des séries entières, propriétés de la somme. Exemples et applications.

(2014) 243
(2016) 243

Dernier rapport du Jury :

(2015 : 243 - Convergence des séries entières, propriétés de la somme. Exemples et applications.) Le théorème d'Abel (radial ou sectoriel) trouve toute sa place mais doit être agrémenté d'exercices pertinents. Il est regrettable de voir beaucoup de candidats qui maîtrisent raisonnablement les classiques du comportement au bord du disque de convergence traiter cette leçon en faisant l'impasse sur la variable complexe. C'est se priver de beaux exemples d'applications ainsi que du théorème de composition, pénible à faire dans le cadre purement analytique et d'ailleurs très peu abordé. Le jury attend aussi que le candidat puisse donner des arguments justifiant qu'une série entière en $0$ dont le rayon de convergence est $R$ est développable en série entière en $0$ en un point $z_0$ intérieur au disque de convergence et de minorer le rayon de convergence de cette série.

(2014 : 243 - Convergence des séries entières, propriétés de la somme. Exemples et applications.) Il est regrettable de voir beaucoup de candidats qui maîtrisent raisonnablement les classiques du comportement au bord du disque de convergence traiter cette leçon en faisant l'impasse sur la variable complexe. C'est se priver de beaux exemples d'applications ainsi que du théorème de composition, pénible à faire dans le cadre purement analytique et d'ailleurs très peu abordé.

Développements :

Plans/remarques :

Pas de plans pour cette leçon.

Retours d'oraux :

2015 : Leçon 243 - Convergence des séries entières, propriétés de la somme. Exemples et applications.

  • Leçon choisie :

    243 : Convergence des séries entières, propriétés de la somme. Exemples et applications.

  • Autre leçon :

    217 : Sous-variétés de $R^n$. Exemples.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Théorème taubérien fort

  • Autre(s) développement(s) proposé(s) :

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Que exercices sur le plan.

    Une variable aléatoire discrète admettant des moments à tout ordre est-elle caractérisée par ses moments? (en rapport avec les séries génératrices)

    Calculer $\sum_{1}^{+ \infty} \frac{(-1)^n}{n}$

    Si f est DSE en 0 avec un RCV de 1, est-elle DSE en 1/2? Quel est le RCV?

    Connaissez-vous une autre démonstration du théorème de d'Alembert que celle à partir du théorème de Liouville? (avec des outils plus simples)

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Pas de réponse fournie.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Pas de réponse fournie.

  • Note obtenue :

    Pas de réponse fournie.

  • Leçon choisie :

    243 : Convergence des séries entières, propriétés de la somme. Exemples et applications.

  • Autre leçon :

    123 : Corps finis. Applications.

  • Développement choisi : (par le jury)

    Pas de réponse fournie.

  • Autre(s) développement(s) proposé(s) :

    Pas de réponse fournie.

  • Liste des références utilisées pour le plan :

    Pas de réponse fournie.

  • Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :

    Sur le plan puis quelques exos.
    - prouver le critère d'Abel implique celui de Cauchy

    - si $f$ est DSE de rayon de convergence $R\textgreater0$ et si $r\textlesserR$, calculer $\displaystyle \int_{0}^{2\pi} \left|\ f\left(r\ e^{i\theta}\right) \right|^{2} \, \mathrm{d}\theta$

    Dans le cas où $R\textgreater1$ et les coefficients du DSE sont entiers, montrer que $f$ est un polynôme

    - si $\Sigma\ a_{n}z^{n}$ a un rayon de convergence non nul, que peut-on dire de celui de $\Sigma\ \frac{a_{n}z^{n}}{n!}$ ?

    - époque et motivation des séries entières ?

  • Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?

    Jury très agréable et souriant.

  • L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

    Pas de réponse fournie.

  • Note obtenue :

    Pas de réponse fournie.


Références utilisées dans les versions de cette leçon :