Développement : Cardinal du cône nilpotent

Détails/Enoncé :

Le nombre de matrices nilpotentes de taille dxd à coefficients dans Fq est $$n_d=q^{d(d-1)}$$

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Recasages pour l'année 2025 :

Autres années :

(2024) 123 : Corps finis. Applications.
(2024) 156 : Endomorphismes trigonalisables. Endomorphismes nilpotents.
(2024) 190 : Méthodes combinatoires, problèmes de dénombrement.
(2024) 101 : Groupe opérant sur un ensemble. Exemples et applications.
(2024) 106 : Groupe linéaire d'un espace vectoriel de dimension finie E, sous-groupes de GL(E). Applications.
(2024) 151 : Sous-espaces stables par un endomorphisme ou une famille d'endomorphismes d'un espace vectoriel de dimension finie. Applications.
(2023) 123 : Corps finis. Applications.
(2023) 157 : Endomorphismes trigonalisables. Endomorphismes nilpotents.
(2023) 190 : Méthodes combinatoires, problèmes de dénombrement.
(2023) 101 : Groupe opérant sur un ensemble. Exemples et applications.
(2023) 106 : Groupe linéaire d’un espace vectoriel de dimension finie E, sous-groupes de GL(E). Applications.
(2023) 154 : Sous-espaces stables par un endomorphisme ou une famille d’endomorphismes d’un espace vectoriel de dimension finie. Applications.
(2022) 123 : Corps finis. Applications.
(2022) 157 : Endomorphismes trigonalisables. Endomorphismes nilpotents.
(2022) 190 : Méthodes combinatoires, problèmes de dénombrement.
(2022) 101 : Groupe opérant sur un ensemble. Exemples et applications.
(2022) 106 : Groupe linéaire d'un espace vectoriel de dimension finie E, sous-groupes de GL(E). Applications.
(2022) 154 : Sous-espaces stables par un endomorphisme ou une famille d'endomorphismes d'un espace vectoriel de dimension finie. Applications.
(2021) 123 : Corps finis. Applications.
(2021) 157 : Endomorphismes trigonalisables. Endomorphismes nilpotents.
(2021) 190 : Méthodes combinatoires, problèmes de dénombrement.
(2021) 101 : Groupe opérant sur un ensemble. Exemples et applications.
(2021) 106 : Groupe linéaire d’un espace vectoriel de dimension finie E, sous-groupes de GL(E). Applications.
(2021) 154 : Sous-espaces stables par un endomorphisme ou une famille d’endomorphismes d’un espace vectoriel de dimension finie. Applications.
(2020) 123 : Corps finis. Applications.
(2020) 157 : Endomorphismes trigonalisables. Endomorphismes nilpotents.
(2020) 190 : Méthodes combinatoires, problèmes de dénombrement.
(2020) 101 : Groupe opérant sur un ensemble. Exemples et applications.
(2020) 106 : Groupe linéaire d’un espace vectoriel de dimension finie E, sous-groupes de GL(E). Applications.
(2020) 154 : Sous-espaces stables par un endomorphisme ou une famille d’endomorphismes d’un espace vectoriel de dimension finie. Applications.
(2019) 123 : Corps finis. Applications.
(2019) 157 : Endomorphismes trigonalisables. Endomorphismes nilpotents.
(2019) 190 : Méthodes combinatoires, problèmes de dénombrement.
(2019) 101 : Groupe opérant sur un ensemble. Exemples et applications.
(2019) 106 : Groupe linéaire d’un espace vectoriel de dimension finie E, sous-groupes de GL(E). Applications.
(2019) 154 : Sous-espaces stables par un endomorphisme ou une famille d’endomorphismes d’un espace vectoriel de dimension finie. Applications.
(2018) 123 : Corps finis. Applications.
(2018) 157 : Endomorphismes trigonalisables. Endomorphismes nilpotents.
(2018) 190 : Méthodes combinatoires, problèmes de dénombrement.
(2018) 101 : Groupe opérant sur un ensemble. Exemples et applications.
(2018) 106 : Groupe linéaire d’un espace vectoriel de dimension finie E , sous-groupes de $GL(E)$ . Applications.
(2018) 154 : Sous-espaces stables par un endomorphisme ou une famille d’endomorphismes d’un espace vectoriel de dimension finie. Applications.
(2017) 123 : Corps finis. Applications.
(2017) 157 : Endomorphismes trigonalisables. Endomorphismes nilpotents.
(2017) 190 : Méthodes combinatoires, problèmes de dénombrement.
(2017) 101 : Groupe opérant sur un ensemble. Exemples et applications.
(2017) 106 : Groupe linéaire d'un espace vectoriel de dimension finie $E$, sous-groupes de $GL(E)$. Applications
(2017) 154 : Sous-espaces stables par un endomorphisme ou une famille d'endomorphismes d'un espace vectoriel de dimension finie. Applications.

Versions :

Version de Mafurude

Auteur :
Mafurude
Référence :
- Histoires hédonistes de groupes et géométries, Tome 2, Caldero, Germoni

Version de Anonyme

Auteur :
Anonyme
Référence :
- Histoires hédonistes de groupes et géométries, Tome 2, Caldero, Germoni
Fichier :
- Cone_nilpotent.pdf

Version de Lavos

Auteur :
Lavos
Remarque :
Résultat assez surprenant lorsqu'on sait que le cône nilpotent n'a rien d'un sous-espace vectoriel. Je recommande la vidéo de Caldero sur le sujet pour l'heuristique et quelques remarques.
Référence :
- Histoires hédonistes de groupes et géométries, Tome 2, Caldero, Germoni
Fichier :
- cone_nilpotent.pdf

Version de Matoumatheux

Auteur :
Matoumatheux
Remarque :
Approuvé par Caldero et Germoni, j'ai des doutes sur le recasage dans la leçon 101, car on n'utilise qu'une seule petite action dans la version sans le lemme de Fitting.
Référence :
- Histoires hédonistes de groupes et géométries, Tome 2, Caldero, Germoni
Fichier :
- Le cône nilpotent sans Fitting.pdf

Version de Alice M

Auteur :
Alice M
Remarque :
Mes documents sont longs, déjà parce que je parle vite (donc il faut beaucoup de contenus), que j'écris gros, et que j'aime bien comprendre dans les détails, mais aussi et surtout parce qu'il y a beaucoup de remarques/infos à la fin, pour essayer d'être capable de répondre au max de questions liées au dev !

Evidemment, il est fort possible qu'il y ait des coquilles de ci de là, n'hésitez pas à me les signaler !

(Bon courage !)
Référence :
- Carnet de voyage en Algébrie, Philippe Caldero, Marie Peronnier
Fichier :
- Cardinal du cône nilpotent.pdf

Références utilisées dans les versions de ce développement :

Histoires hédonistes de groupes et géométries, Tome 2, Caldero, Germoni (utilisée dans 20 versions au total)
Carnet de voyage en Algébrie, Philippe Caldero, Marie Peronnier (utilisée dans 108 versions au total)