Analyticité des fonctions holomorphes (par les séries de Fourier)

Je n'ai malheureusement trouvé aucun livre présentant ce développement, seulement des références sur internet.

Théorème de Paley-Wiener

Voici une version possible du théorème de Paley-Wiener, dont il existe une miriade d'énoncés plus ou moins similaires. Je l'ai trouvé en exercice corrigé dans le Li d'analyse fonctionnelle.

Le développement est vraiment long, on est un peu obligés d'admettre des bouts différents suivant les leçons dans lesquelles on le recase. Il convient selon moi pour les leçons 209 (dans le dernier point on utilise un argument de régularisation par convolution), 236 (un peu limite, mais c'est parce que le rapport parle de calcul d'intégrales au sein d'une preuve "théorique"), 239, 245 et 250.

Invariants de similitude (réduction de Frobenius)

Gros document sur la réduction de Frobenius, rédigé sous la forme d'un mini-cours pour quiconque voudrait découvrir ce résultat, expliqué avec les mots qui m'ont fait comprendre personellement la démonstration. Peut-être trouverez vous ça inutile mais je me dis que ça peut aussi servir comme outil de travail pour préparer la séance de questions sur le développement.

Groupes finis. Exemples et applications.

C'est le plan que j'ai fait pour mon premier oral blanc. J'aime beaucoup les groupes finis donc j'ai sûrement mis trop de choses. Mes deux développements, par exemple, peuvent très bien ne pas figurer dans la leçon mais je trouve que ce sont de jolis résultats. Si je devais la refaire aujourd'hui j'essaierais d'alléger le grand un pour parler un peu plus de groupes d'isométries (du cube et du tétraèdre notamment).

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Groupe linéaire d’un espace vectoriel de dimension finie E, sous-groupes de GL(E). Applications.

Voici le plan que j'avais présenté en classe durant l'année de préparation, il a été supervisé par un super prof. J'aime beaucoup le sujet de cette leçon, je me suis fait un peu kiffer sur le plan. On n'est pas du tout obligé de parler de groupes de Lie et de quaternions, j'ai d'ailleurs enlevé ces derniers de mon couplage en cours d'année. En revanche, il me semble assez indispensable de parler du pivot de Gauss et ses conséquences, et des actions du groupe linéaire. Toutefois, il ne faut pas trop en faire sur le lien avec la réduction des endomorphismes mais plutôt présenter les actions du groupe linéaire comme un langage agréable pour parler de réduction.

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Exemples d’utilisation des techniques d’algèbre en géométrie.

Voici le plan que j'avais présenté devant la classe pendant l'année de préparation, il a été supervisé par un super prof. Cette leçon est très particulière au vu de la variété de choses qu'on peut mettre dedans (je vous laisse apprécier la taille du rapport de jury) et de la variété de plans valables qui en découle. Il faut savoir que cette leçon est la fusion de deux précédentes leçons intitulées (à peu près) "utilisation de groupes en géométries" et "utilisation de nombres complexes en géométrie". Mon plan est sûrement trop orienté groupes et pas du tout assez nombres complexes. Après coup, je me rends compte que j'aurais sûrement du parler de la bonne définition des angles dans mon grand deux, dont la deuxième sous partie est certes pertinente pour cette leçon mais pas trop pour cette partie. Pour ce qui est du résultant, je vous conseille de vous y pencher : c'est franchement pas si compliqué et ça se recase très bien, y compris pour trouver des polynômes minimaux en théorie des corps. Par ailleurs, il m'a été - comme beaucoup j'imagine - assez fastidieux de trouver un bouquin de géométrie convenable pour faire les leçons concernées, mais j'ai fini par trouver mon bonheur dans le Tauvel, et je n'ai pas vu beaucoup de monde en parler sur ce site donc j'en profite.

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Espaces de Hilbert. Exemples d’applications.

C'est le plan que j'ai fait pour mon deuxième oral blanc. Le jury m'a dit qu'il était complet mais qu'il manquait un peu d'exemples. À ce titre, on pourrait rajouter le fait que les polynômes orthogonaux forment une base hilbertienne des L^2 pondérés. Ce qui est bien avec cette leçon c'est que quand on met tout ce qui est absolument nécessaire on a déjà une leçon constitante, il suffit donc presque de suivre linéairement le Li ou le Hirsch-Lacombe. J'ai mis l'horrible El Amrani dans mes références pour le développement sur l'échantillonnage de Shannon qui est soit dit en passant un développement exceptionnel.

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Fonctions holomorphes et méromorphes sur un ouvert de C. Exemples et applications.

Voici le plan que j'avais présenté devant la classe durant l'année de préparation. Cette leçon est souvent jugée exigante, à juste titre à mon avis. Il y a un certain nombre de points de mon plan qu'on peut enlever sans soucis : je pense principalement au théorème d'holomorphie sous l'intégrale et ses conséquences, et à mon grand trois. Dans les indispensables, il y a à mon sens au moins la formule de Cauchy sur un convexe, la formule des résidus, les déterminations usuelles du logarithme complexe, et le principe des zéros isolés.

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