Développement : Théorème de Paley-Wiener

Détails/Enoncé :

Soit $T \in \mathcal{E}'(\mathbb{R})$ d'ordre $N_0$ telle que $\mathsf{supp}(T) \subseteq [-r,r]$. Il existe alors $F : \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ holomorphe telle que $F_{|\mathbb{R}} = \widehat{T}$ et pour tout $z \in \mathbb{C}$ on a

$$ | F(z)| \le C ( 1 + |z|)^{N_0} e^{r |Im(z|} $$

Recasages pour l'année 2025 :

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  • Remarque :
    Voici une version possible du théorème de Paley-Wiener, dont il existe une miriade d'énoncés plus ou moins similaires. Je l'ai trouvé en exercice corrigé dans le Li d'analyse fonctionnelle.

    Le développement est vraiment long, on est un peu obligés d'admettre des bouts différents suivant les leçons dans lesquelles on le recase. Il convient selon moi pour les leçons 236 (un peu limite, mais c'est parce que le rapport parle de calcul d'intégrales au sein d'une preuve "théorique"), 239, 245 et 250.
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Références utilisées dans les versions de ce développement :

Elements d'analyse pour l'agrégation , Zuily (utilisée dans 7 versions au total)
Elements de distributions et d'équations aux dérivées partielles , Zuily (utilisée dans 9 versions au total)
Cours d'analyse fonctionnelle, Daniel Li (utilisée dans 78 versions au total)