Réduction des endomorphismes normaux dans un espace euclidien

Rombaldi p743

Dénombrement des automorphismes diagonalisables de Fq

Rombaldi 203
Similaire au H2g2 p66

Réduction des isométries

Gou Algebre p268
Je ne garde pas, je préfère passer par les endomorphismes normaux, quitte à finir avec ça

Lemme de la grenouille

Un peu court
GOU p46

Adhérence de l'ensemble des matrices réelles diagonalisables

CVA Caldero
Je mets aussi Dzn(C) dans Mn(C)

Enveloppe convexe de On(R)

QUE Analyse p205
BMP obj agreg p97
J'ai mis quelques annexes
C'est une première version faite de tête, pleine de coquille (il manque la preuve de l'égalité des sup dans le Lemme 2 et il y a un sup(Conv(On) ...) au lieu de sup(On ....) dans le théorème

Equivalence des normes en dimension finie et théorème de Riesz

GOU Algebre p50 56

Théorème de Brouwer dans le plan euclidien

Henle p36
Sympa mais se case pas si bien dans mes couplages finalement

Théorème de Runge (version faible)

Que topologie p140

Simplicité de SO_3(R)

X Ens 3
On peut soit détailler la réduction des isométries (Gou), soit montrer que les retournemets engendrent SO3 (Perrin p142), soit montrer qu'ils sont conjugués.

Théorèmes de point fixe compact ( métrique )

203, 223, 226 très similaire à Picard pour la 205.
Gourdon, peut être fait en métrique ou evn selon la leçon, assez faible niveau.
Je ne la mets pas dans mon couplage finalement.

Détermination du nombre de racines distinctes d'un polynôme

Gandmacher p200

Sous-groupes distingués de Sn

Rom p49

Lemme des noyaux, codiagonalisabilité, Dunford et application à l'exponentielle de matrice

Morphismes continus du cercle dans GLn(R)

Théorème de Perron-Frobenius pour les matrices stochastiques irréductibles

J’ai fait une version augmentée, qui va jusqu'à la démonstration du théorème ergodique et de la convergence dans le cas apériodique où Sp(A) \cap S^1 = {1}
Comme dans la source on montre que les vp de module 1 forment un sous groupe du cercle unité. Il est de dimension finie donc c’est un Ud. Le chemin de la preuve nous a par ailleurs montré que les sous espaces propres associés sont de dimension 1 (les X_l sont entièrement déterminés par X_k0, la puissance d’irréductibilité m et la valeur propre).
On montre que les sous-espaces caractéristiques sont confondus avec les sous-espaces propres (à l’aide de l’aspect borné des matrices stochastiques et une decomposition de Dunford de l’endomorphisme induit par A sur le sous espace caractéristique).
On en déduit une diagonalisation avec les éléments de Ud et un bloc de rayon spectral <1 ce qui permet d’en déduire assez naturellement les deux théorèmes de convergence pour les chaînes de Markov à espaces d'états finis.

Du coup ça se recase mieux (on utilise des endomorphismes induits, de la réduction, des normes subordonnées ...) mais faut être efficace et accepter d’admettre des passages selon la leçon.
Au plus du plus je le mettrais dans les leçons
102, 150, 151, 152, 153, 156, 203, 208, 226, 262, 264. Mais il faut être certain de sa défense, et adapter (en particulier sur les leçons d’analyse). Les probas j'abuse un peu.

Pour les questions, il faut être prêt pour les normes subordonnées (pourquoi as t’on une norme subordonnée de B pour laquelle ||B||<1 ?). On utilise également la sous multiplicativité.
Savoir justifier que PE_{1,1}P^{-1} soit bien composée de lignes du vecteur stable par le fait que l'ensemble des matrices de coefficients de somme = 1 est un sous-espace affine comme solution d'une équation linéaire globale. (Mis en remarque mais expliqué un peu vite).
Potentiellement être près à retrouver une réduction réelle de la matrice A (avec des matrices de rotations et exhiber une matrice de passage réelle en décomposant entre parties réelle R et réelles et imaginaire et en étudiant P(X)=det(R+IX) qui est non-nul en X=i).