(2015 : 218 - Applications des formules de Taylor.)
Il faut connaître les formules de Taylor des polynômes et certains développements très classiques. En général, le développement de Taylor d'une fonction comprend un terme de reste qu'il est crucial de savoir analyser. Le candidat doit pouvoir justifier les différentes formules de Taylor proposées ainsi que leur intérêt. Le jury s'inquiète des trop nombreux candidats qui ne savent pas expliquer clairement ce que signifient les notations $o$ ou $O$ qu'ils utilisent.
De plus la différence entre l'existence d'un développement limité à l'ordre deux et l'existence de dérivée seconde doit être connue.
Il y a de très nombreuses applications en géométrie et probabilités (par exemple le théorème central limite). On peut aussi penser à la méthode de Laplace, du col, de la phase stationnaire ou aux inégalités $||f^{(k)}|| \le 2^{k(n-k)/2} ||f||^{1 - k/n} ||f^{(n)}||^{k/n}$ (lorsque $f$ et sa dérivée $n$-ième sont bornées). On soignera particulièrement le choix des développements.
223 : Suites numériques. Convergence, valeurs d'adhérence. Exemples et applications.
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.
Q: Développement limité à l'ordre 2 implique-t-il dérivée seconde ? [non. Par exemple f(x)=sin(1/x)x^3]
Q: Avez-vous une idée de la preuve "f et f^(n+1) bornée implique f^(k) bornée pour k entre 1 et n"? [utiliser Taylor-Lagrange et isoler les termes f et f^(n+1). Le polynôme des autres termes sera uniformément borné, puis utiliser l'équivalence des normes en dimension finie pour borner les coefficients]
Q: Montrer que f(x)=(1-cos(x))/x^2 est C^{infinie}. [Elle est développable en série entière]
Q: Historiquement, quel(s) problème(s) ont motivé l'introduction de ces notions et quand ? [Sérieusement ?]
Jury plutôt coopératif.
Pas de réponse fournie.
Pas de réponse fournie.