Etude du cryptosystème RSA

Extrait de mon cours de crypto de M1, je ne me sers des refs que pour certaines parties mais pour d'autres il a fallu faire de mémoire.

Proposé d'abord pour la leçon "nombres premiers" en prépa agreg, l'enseignant souligne la nécessité de parler des failles et de la complexité et pas juste de présenter le protocole comme c'est apparemment fait le plus souvent lorsque le développement était proposé.

Développement et version qui me paraissent originaux. Un de mes dev préférés, bien que le recasage ne soit pas exceptionnel (je le place en 120 121 et 142).

Solides de Platon

Développement extrait du super cours http://gaetan.chenevier.perso.math.cnrs.fr/AlgebreI.html
Pour des références autorisées le jour J, je prends l'Isenmann Pécatte pour le cube.
Le Berger sert pour les dessins et avoir quelques idées mais rien n'est détaillé.

Le développement peut être vraiment long selon le choix de détails, personnellement je présentais le tetraèdre, le cube, et le dessin de la dualité octaèdre/cube.
Pour les deux autres je tends la perche en espérant pouvoir en parler sur la phase "questions".

Un de mes développements préférés, que j'ai recasé dans
- de manière sûre : 101 104 105 106
- en cas de besoin : 161 181 191

Suites vectorielles et réelles définies par une relation de récurrence un+1=f(un). Exemples. Applications à la résolution approchée d’équations.

Je suis passée en leçon devant un prof dessus, voici un méta plan adapté après son retour.

I/ Suites récurrentes [GOU]
1. Généralités
2. Cas particuliers

II/ Points fixes et attraction
1. Propriétés [ROU]
2. Comportement lent à l'infini [BER]
(DEV 1 : Suites définies par récurrence, Bernis et Bernis)

III/ Méthode numériques
(DEV 2 : Méthode de Newton, Rouvière)

Méthodes combinatoires, problèmes de dénombrement.

Je suis passée dessus dans l'année, voici un méta plan adapté après retour du prof.
J'ai choisi de faire "théorie -> exemples" et de trier par domaine d'application, il est peut-être préférable de trier par technique, mais c'est globalement une leçon pas facile ...

I/ Principes de dénombrement
1. Généralités [GK,GOU]
(DEV 1.a Formule de Poincaré [GOU])
2. Coefficient Binomial [GOU]

II/ Ensemble des permutations [GOU]
(DEV 1.b nombre de dérangements [GOU])

III/Actions de groupes
1. Equation aux classes [ROM]
(DEV 2.a : Formule de Burnside, [IP] )
2. Groupe d'isométries [ROM]
(DEV 2.b: dénombrement des colorations du cube [IP] )

Pour aller plus loin : Formule de Polya

Conjugaison dans un groupe. Exemples de sous-groupes distingués et de groupes quotients. Applications.

Attention au rapport du jury qui implique ici que si le plan dédie toute une partie à Sn et An, les exemples précédents doivent venir d’autres domaines.

Leçon présentée en prépa agreg, voici le méta plan après le retour de l'enseignant :
La partie III est un choix personnel et pas automatique qu'il faut bien savoir justifier.

I/ Actions de conjugaison [PER, ROM]
1. Généralités sur les actions de groupes
2. Classes de conjugaison
3. Centre
(DEV de rechange : centre d'un p-groupe et application)
4. Sous-groupes distingués et sous-groupes quotients

II/ Applications au groupe de permutations
1. Groupe symétrique
2. Groupe alterné
(DEV : An est simple pour n>= 5)

III/ Produits directs et semi-directes
1. Définitions
2. Décomposition en produit
(DEV : Classification des groupes d'ordre 8 [FG])

Le fichier joint correspond à ce qui a été présenté avant retour de l'enseignant mais il y avait peu de grosses modifications de mémoire.

Applications différentiables définies sur un ouvert de Rn. Exemples et applications.

J'ai vraiment du mal en calcul diff, le rouvière est ma solution.

Leçon présentée en prépa agreg, voici le méta plan après retours du prof :

I/ Différentiabilité
II/ Fonctions C^k
1. Différentiation d'ordre 1
(DEV : Calcul de D(det) [ROU])
2. Différentiation d'ordre k

III/ Extremas
1.Gradient et Hessienne
2. Recherche d'extremas

IV/ Théorème d'inversion locale (DEV 2, [GOU])

Groupes finis. Exemples et applications.

Leçon présentée en prépa agreg.
Voici un méta plan légèrement différent du fichier, en théorie la version "améliorée"

I/ Définitions et propriétés
1. Ordre et théorèmes de Lagrange
2. Groupes abéliens finis

II/ Groupe des permutations
1. Groupe symétrique
2. Groupe Alterné
(DEV : Simplicité de A_n, [ROM])

III/ Isométries
1. Sous-groupes finis de O(2)
2. Sous-groupes finis de O(3)
(DEV : Solides de Platon)

IV/ Groupes des quaternions purs (optionnel)

Plus sûres de bouquins utilisés, probablement rombaldi, gourdon et perrin en algèbre.
En PJ la version présentée en prépa agreg.

Suites et séries de fonctions. Exemples et contre-exemples

Leçon présentée en prépa agreg mais avec peu de retours... Voici un méta plan différent de ce que j'ai proposé, qui me semblait après coup un peu mieux. En PJ la version détaillée de ce que j'ai présenté en classe.

I/ Suites et séries de fonctions
1. Définition, modes de convergence
2. Régularité
(DEV : Riesz-Ficher [IP])
3. Cas des séries entières

II/ Applications aux probabilités
1. Suites de v.a. et convergence
2. Fonctions caractéristiques, fonctions génératrices
3. Théorèmes de convergence (DEV : lemme, Lévy, TCL)

Suites et séries de fonctions. Exemples et contre-exemples

Leçon présentée en prépa agreg mais avec peu de retours... Voici un méta plan différent de ce que j'ai proposé, qui me semblait après coup un peu mieux. En PJ la version détaillée de ce que j'ai présenté en classe.

I/ Suites et séries de fonctions
1. Définition, modes de convergence
2. Régularité
(DEV : Riesz-Ficher [IP])
3. Cas des séries entières

II/ Applications aux probabilités
1. Suites de v.a. et convergence
2. Fonctions caractéristiques, fonctions génératrices
3. Théorèmes de convergence (DEV : lemme, Lévy, TCL)

Nombres premiers. Applications.

Leçon présentée en prépa agreg, mon premier passage en oral blanc. En PJ la version détaillée présentée, je conseille d'en faire moins sur la crypto et de laisser plus de place et de temps pour le reste.
Ci-dessous un méta plan un peu différent retravaillé après coup :

I/ Nombres premiers et arithmétique sur Z
1. Définitions et propriétés
2. Recherche des nombres premiers

II/ Anneaux et corps finis (Z/nZ)
1. Indicatrice d'Euler (contient thm chinois)
(DEV 1 : Cyclicité de Z/nZ)
2. Corps finis
(contient : racines carrés dans un corps finis)

III/ Application en cryptographie
(DEV : RSA)

IV/ Equations diophantiennes