Leçon 102 : Groupe des nombres complexes de module 1. Sous-groupes des racines de l’unité. Applications.

(2017) 102
(2019) 102

Dernier rapport du Jury :

(2017 : 102 - Groupe des nombres complexes de modules $1$. Sous-groupes des racines de l'unité. Applications) Cette leçon ne doit pas se cantonner aux aspects élémentaires. Elle doit donner l’occasion d’expliquer où et comment les nombres complexes de module 1 et les racines de l’unité apparaissent dans divers domaines des mathématiques (exponentielle complexe et ses applications, polynômes cyclotomiques, spectre de matrices remarquables, théorie des représentations). Il ne faut pas non plus oublier la partie « groupe » de la leçon : on pourra s’intéresser au relèvement du groupe unité au groupe additif des réels et aux propriétés qui en résultent. De même, il est pertinent d’étudier les sous-groupes finis de $S^1$ dans cette leçon. On pourra aussi s’intéresser aux groupes des nombres complexes de $Q[i]$, et les racines de l’unité qui y appartiennent ; tout comme aux sous-groupes compacts de $C^*$. Les transformées de Fourier discrètes et rapides peuvent aussi être abordées dans cette leçon.

(2016 : 102 - Groupe des nombres complexes de module $1$. Sous-groupes des racines de l'unité. Applications.) Il ne faut pas uniquement aborder cette leçon de façon élémentaire sans réellement expliquer où et comment les nombres complexes de modules 1 et les racines de l’unité apparaissent dans divers domaines des mathématiques (exponentielle complexe et ses applications, polynômes cyclotomiques, spectre de matrices remarquables, théorie des représentations). Il ne faut pas non plus oublier la partie « groupe » de la leçon : on pourra s’intéresser au relèvement du groupe unité au groupe additif des réels et aux propriétés qui en résultent. De même les sous-groupes finis de $S^1$ sont intéressants à considérer dans cette leçon. On pourra aussi s’intéresser aux groupes des nombres complexes de $Q[i]$, et les racines de l’unité qui y appartiennent ; tout comme aux sous-groupes compacts de $C^*$ .
(2015 : 102 - Groupe des nombres complexes de module $1$. Sous-groupes des racines de l'unité. Applications.) Cette leçon est encore abordée de façon élémentaire sans réellement expliquer où et comment les nombres complexes de modules 1 et les racines de l'unité apparaissent dans divers domaines des mathématiques (polynômes cyclotomiques, spectre de matrices remarquables, théorie des représentations). Il ne faut pas non plus oublier la partie "groupe" de la leçon : on pourra s'intéresser au relèvement du groupe unité au groupe additif des réels et aux propriétés qui en résultent (par exemple l'alternative "sous-groupes denses versus sous-groupes monogènes"). On pourra aussi s'intéresser aux groupes des nombres complexes de $Q[i]$, et les racines de l'unité qui y appartiennent.
(2014 : 102 - Groupe des nombres complexes de module $1$. Sous-groupes des racines de l'unité. Applications.) Cette leçon est encore abordée de façon élémentaire sans réellement expliquer où et comment les nombres complexes de modules 1 et les racines de l'unité apparaissent dans divers domaines des mathématiques (polynômes cyclotomiques, théorie des représentations, spectre de certaines matrices remarquables).

Développements :

Plans/remarques :

2017 : Leçon 102 - Groupe des nombres complexes de modules $1$. Sous-groupes des racines de l'unité. Applications


2016 : Leçon 102 - Groupe des nombres complexes de module $1$. Sous-groupes des racines de l'unité. Applications.


2015 : Leçon 102 - Groupe des nombres complexes de module $1$. Sous-groupes des racines de l'unité. Applications.


Retours d'oraux :

Pas de retours pour cette leçon.

Références utilisées dans les versions de cette leçon :

Algèbre , Gourdon (utilisée dans 333 versions au total)
Groupes, algèbres et géométrie, tome 1 , Arnaudiès (utilisée dans 3 versions au total)
Oraux X-ENS Algèbre 1, Francinou, Gianella, Nicolas (utilisée dans 142 versions au total)