Théorème de Montel

Vous vous demandez quelles sont les parties compactes de fonctions holomorphes? Faites appel à Montel!
Dans ce dev très intéressant, on passe par la précompacité pour montrer le résultat. Il y a aussi une remarque intéressante du Zuily Queffelec sur le fait que la topologie n'est pas normable.

Théorème de Müntz

Lourd en calculs, surtout pour la 149 où il vaut mieux faire determinant de Gram+ Cauchy et juste calculer la distance de $x^m$ à $V_N$.
On peut récupérer en plus la divergence de la série harmonique par le théorème de Weierstrass

Disques de Gerschgorin-composantes connexes

On démontre d'abord la continuité des racines d'un polynôme (en posant une norme judicieuse), puis une amélioration du théorème de Gershgorin.

Réduction des endomorphismes normaux

On démontre d'abord que la réduction sur $\mathbb{C}$ pour déduire celle sur $\mathbb{R}$

Extrema liés

Voici une preuve des extrema liés adaptée du Troutman Variational calculus with elementary convexity (p 126-131), qui le démontre avec des hypothèses plus faibles.
On utilise des techniques d’algèbre linéaire, et dans la preuve, c’est s’autoriser à se déplacer selon $k+1$ directions (peu importe l’espace ambiant) qui permet de conclure, ce qui justifie le recasage en 206.

La preuve est assez courte, il y a donc le temps un exemple rapide et bien senti, ou pour donner l’intuition de la preuve et de $F$, ou comment obtenir les conditions de minimum sur un ouvert, sur un ensemble avec des directions admissibles puis les extrema liés (comme fait dans le Troutman).

Dans la 159, on peut aussi faire le lemme technique sur la surjectivité de $\Phi$ (voir Gourdon) et conclure en montrant que $\bigcap \ker (dg_i(a))\subseteq \ker (df(a))$.