Forme normale de Smith

Un de mes développements préférés pour l'instant ! Il a à mon sens le mérite de pouvoir transformer certaines leçons d'apparence infâme (comme l'odieuse leçon sur les systèmes linéaires) en des mines d'or de fun si vous aimez la théorie des anneaux, voire que vous vous sentez prêt.e à parler de modules, car c'est l'élément de base de tout une machinerie très puissante qui permet d'obtenir un bon nombre de théorèmes qui font des modules sur les anneaux principaux des objets encore plutôt agréables à manipuler (base adaptée, un sous-module d'un module libre est libre, etc.). Alternativement, vous pouvez aussi embrayer sur des corollaires plus proches du programme, tels que le théorème de structure des groupes abéliens de type fini, ou alors la résolution d'un système linéaire à coefficients dans Z. C'est un développement excellent à coupler avec celui sur la réduction de Frobenius car l'algorithme de Smith est essentiellement celui qui permet de calculer explicitement les facteurs invariants d'une matrice. Par contre, il faut l'avoir bien préparé pour ne pas s'embrouiller dans l'explication de l'algorithme, et il faut savoir l'appliquer sur des exemples, au moins dans Z.

Mon document est très long, parce que j'ai essayé de détailler du mieux que je le pouvais, mais l'essentiel des arguments est à développer à l'oral. J'y traite le cas principal, et non euclidien, je trouve que la preuve est plus intéressante dans ce contexte. J'ai aussi ajouté quelques remarques d'ordre théorique sur le cadre dans lequel on peut faire fonctionner l'algorithme.

Côté recasages, je lui mets cinq étoiles dans la 122, la 142 et la 162 pour des raisons assez évidentes. Pour la leçon sur les déterminants, j'ai indiqué le recasage dans le poly mais je ne l'utiliserai personnellement pas ici, je trouve que c'est un peu maigre (les déterminants n'apparaissent que dans la partie unicité). Certaines personnes recasent ce dev dans la leçon sur les matrices diagonalisables, mais je trouve ça complètement tiré par les cheveux : ici on montre une forme *équivalente* à une matrice diagonale, pas *semblable*...

N'hésitez pas à me contacter en cas de coquille !

PGCD et PPCM, algorithmes de calcul. Applications.

Une leçon qui me rebutait vraiment au début mais dans laquelle j'ai fini par trouver mon compte en cherchant à faire très abstrait. Ce plan a été crash-testé en oral blanc, ci dessous je vais essayer de faire le retour le plus complet possible pour que ça serve aux suivant.e.s.

A propos du plan lui-même :
- j'ai introduit ma défense du plan en justifiant immédiatement le point de vue très abstrait que j'ai décidé d'adopter. C'était une volonté de ma part pour deux raisons : la première, c'est que tous les résultats qui sont présentés par la suite se démontrent exactement de la même façon qu'avec des hypothèses plus fortes, donc on ne perd pas en simplicité ; la seconde, c'est qu'on atteint souvent les hypothèses minimales pour faire fonctionner les choses, et donc les démonstrations des théorèmes deviennent presque évidentes et l'ordre dans lequel ils doivent être démontrés est clair.
- le lemme 5 devrait être plus bas car il repose sur le théorème de Gauss (erreur de ma part)
- je pense que j'ai choisi des applications qui, dans l'ensemble, sont relativement difficiles (en particulier, je tiens à pointer du doigt l'application 34, qui devrait attirer les questions du jury (en tout cas mon jury m'a posé la question que j'attendais), et la réponse exploite le théorème de réduction de Frobenius, à connaître donc). J'ai aussi fait exprès de jouer avec des anneaux noetheriens, dans la partie Domaine de Bézout mais aussi pour le développement sur Smith (il faut utiliser le fait qu'un anneau principal est noetherien pour traiter le cas principal). Si vous n'êtes pas à l'aise avec ces choses là, mieux vaut se placer dans un cadre euclidien.

Questions reçues pendant l'oral (sachant que j'ai présenté Smith en développement) :
- Montrer qu'un anneau principal est noetherien.
- Expliquer l'application 34.
- Pourquoi faire Smith dans un cadre principal si toutes les applications sont euclidiennes (j'ai répondu que Smith principal revêt un caractère philosophique dû au théorème 22) ?
- Peut-on donner une borne sur la complexité de l'algorithme de Smith (oui dans le cas euclidien, non dans le cas principal) ?
- Comment montrer l'unicité de la forme de Smith ?
- Préciser l'algorithme d'Euclide étendu (remarque 26).

Retours sur l'oral :
Dans l'ensemble, ça c'est très bien passé. Le jury m'a un peu reproché le cadre très abstrait dans lequel je me place lorsque la plupart des applications se font dans des anneaux euclidiens. Ils insistent sur le fait qu'il n'est pas nécessaire de parler de domaines de Bézout ni même d'anneaux à PGCD, et qu'on peut tout faire en jonglant entre des anneaux factoriels et euclidiens. Ils ont également dit qu'il était peut-être un peu limite que les deux développements soient de nature algorithmique, avant d'ajouter qu'ici ça allait parce que les deux algos sont très différents, et que le risque dans cette leçon est plus de ne pas mettre assez d'algos que d'en mettre trop.

Voilà, j'espère que mon pavé vous aidera !