Développement : Analyse d'un schéma numérique aux différences finies pour la résoltuion d'une EDP de type réaction-diffusion

Détails/Enoncé :

Dans ce développement, on s'intéresse à l'équation aux dérivées partielles suivantes, d'inconnue $u \in \mathcal{C}^2(\mathbb{R}^+ \times [-L,L], \mathbb{R})$ :
\begin{equation}
\tag{R-D}
\label{réaction-diffusion}
\left\{
\begin{array}{rcll}
\partial_tu(t,x) & = & \nu \partial_{xx}^2u(t,x) + g(u(t,x)) & \forall (t,x) \in \mathbb{R}^{+} \times [-L,L], \\
\partial_xu(t,-L) & = & 0 & \forall t \in \mathbb{R}^+, \\
\partial_xu(t,L) & = & 0 & \forall t \in \mathbb{R}^+, \\
u(0,x) & = & u_0(x) & \forall x \in [-L,L],
\end{array}
\right.
\end{equation}
où $\nu > 0$ est un coefficient de diffusion, $g : \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}$ est une fonction de classe $\mathcal{C}^1$ telle que $g(0) = g(1) = 0$, et positive sur $[0,1]$, typiquement la fonciton $g : u \mapsto u(1-u)$ ou $g : u \mapsto u\left(1-u^2\right)$ et où $u_0$ est une condition initiale de classe $\mathcal{C}^2$ sur $[-L,L]$ telle que $u_0'(-L) = u_0'(L) = 0$ (il s'agit de conditions de compatibilité avec les conditions aux bords de Neumann) et $0 \leqslant u_0 \leqslant 1$ (on travaille avec des "concentrations" de population). Cette équation modélise le comportement d'une population sur un segment $[-L,L]$. Le but est donc d'analyser un schéma numérique aux différences finies semi-implicite pour la résolution de l'équation \ref{réaction-diffusion}, ce qui peut potentiellement mettre le jury à vos pieds pour les leçons 206 et 218.

Développement à réserver aux aguerris de l'option B !

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• 206 : Exemples d'utilisation de la notion de dimension finie en analyse.
• 218 : Formules de Taylor. Exemples et applications.

Versions :

Références utilisées dans les versions de ce développement :