Marche aléatoire dans Z^d

Recasages choisis : 264, 266.

Probabilités invariantes d'une chaîne de Markov à états finis

Attention, c'est un développement qui repose abondamment, comme on pouvait s'en douter, sur les chaînes de Markov, qui sont seulement au programme de l'option A. Si vous n'êtes pas déjà familier.e avec ces choses là, c'est sûrement une assez mauvaise idée de se projeter là-dessus. Par contre si vous suivez l'option A, c'est le moment de rentabiliser l'option la moins recasable de l'agreg (et de réviser le cours en montant un développement) !

C'est un petit développement maison, dans lequel on démontre des résultats en jonglant avec des arguments de probabilité, de topologie et d'algèbre linéaire selon ce qui est le plus adapté sur le moment, aussi je le trouve particulièrement agréable à mener. La chose vraiment satisfaisante à mon humble avis, c'est qu'on mène un raisonnement sur des objets probabiliste pour montrer un théorème qui peut aussi s'énoncer dans le cadre de l'algèbre linéaire : toute matrice stochastique a un vecteur propre à gauche, positif et associé à 1, et si cette matrice est supposée irréductible, un tel vecteur est unique et strictement positif (résultat qui peut s'obtenir par le buldozère de Perron-Frobenius).

Côté recasages, j'en ai indiqué beaucoup mais il y en a certains pour lesquels je trouve que c'est un peu abusif en développement (convexité et valeurs propres). Par contre, je pense que c'est une suite de résultat intéressante à mentionner dans le plan pour ces leçons ! Pour convexité, j'envisageai peut-être de transformer la fin du dev pour que ça colle mieux à la leçon : on pourrait admettre le résultat d'unicité, puis montrer que si la chaîne n'est pas irréductible, alors il y a une proba invariante pour chaque classe d'irréductibilité qui ccharge uniquement les points de cette classe, et que toute proba invariante s'écrit comme une combinaison convexe de ces mesures là.