Développement : Transformée de Fourier d'une fraction rationnelle par le théorème des résidus

Détails/Enoncé :

Pour $P$ et $Q$ deux polynômes premiers entre eux vérifiant $\deg Q\geq \deg P+1$ et tels que $Q$ n'a pas de zéros réels, on montre via le théorème des résidus le résultat pour $t>0$
$$\int_{\mathbf{R}}\frac{P(x)}{Q(x)}\mathrm{e}^{\mathrm{i}tx}dx=2\mathrm{i}\pi\sum_{\omega\in \mathcal{Z}_+}\mathrm{Res}\left(\frac{P(x)}{Q(x)}\mathrm{e}^{\mathrm{i}tx},\omega\right)$$
et pour $t< 0$
$$\int_{\mathbf{R}}\frac{P(x)}{Q(x)}\mathrm{e}^{\mathrm{i}tx}dx=2\mathrm{i}\pi\sum_{\omega\in \mathcal{Z}_-}\mathrm{Res}\left(\frac{P(x)}{Q(x)}\mathrm{e}^{\mathrm{i}tx},\omega\right).$$
Où $\mathcal{Z}_+=Q^{-1}(\{0\})\cap\{\Im z>0\}$ et $\mathcal{Z}_-=Q^{-1}(\{0\})\cap\{\Im z<0\}$.

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Références utilisées dans les versions de ce développement :

Cours de mathématiques tome 4 : Équations différentielles, Intégrales multiples , Lelong-Ferrand et Arnaudiès (utilisée dans 1 versions au total)