Développement : Théorème de Cauchy + Condition suffisante pour qu’un sous groupe soit distingué

Détails/Enoncé :

Dans ce développement, on commence par montrer que pour tout groupe G fini, et pour tout diviseur premier p du cardinal de G, il existe un élément d'ordre p.

On montre ensuite que s'il existe un sous groupe H de G d'indice le plus petit diviseur premier p du cardinal de G, celui-ci est nécessairement distingué dans G. En particulier, tout sous groupe d'indice 2 est distingué.

Recasages pour l'année 2025 :

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  • Remarque :
    Un développement que j’ai adoré. Je suis passé en colle en prépa Agreg dessus donc j’ai pu ajouter les questions qui m’ont été posées à cette occasion dans le document.
    Ces deux résultats couplés permettent la classification de petits groupes, vous le verrez en lisant le pdf :)

    cotés recasages à mon avis :
    Leçon 101 : Groupe opérant sur un ensemble. Exemples et applications.
    Leçon 104 : Groupes finis. Exemples et applications.
    En revanche dans la 105…. je ne le tenterais pas.

    j’ai utilisé le Livre de Félix Ulmer : théorie des groupes

    Les remarques en gris sont des choses à ne pas forcément écrire lors du développement et aident simplement à la compréhension du dev.
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Références utilisées dans les versions de ce développement :

Thèmes de Géométrie, Alessandri (utilisée dans 8 versions au total)
Théorie des groupes (bis), Delcourt (utilisée dans 10 versions au total)
Théorie des Groupes, Félix Ulmer (utilisée dans 66 versions au total)