Développement : Égalité de Parseval et application au calcul de zêta(2) et zêta(4)

Détails/Enoncé :

Théorème : On suppose que H est somme hilbertienne des (E_n)_(n∈ℕ). Soit u∈H et soit u_n=P_(E_n)u. Alors on a :
a)u=sum_(n=1)^(+∞)u_n c'est-à-dire u=lim_(k→+∞)sum_(n=1)^ku_n.
b)‖u‖^2=sum_(n=1)^(+∞)​u_n‖^2 (égalité de Parseval).
Réciproquement, étant donné une suite (u_n)_(n∈ℕ) de H telle que ∀n∈ℕ,u_n∈E_n et sum_(n=1)^(+∞)‖u_n‖^2<+∞, alors la série sum_nu_n est convergente et u=sum_(n=1)^(+∞)u_n vérifie ∀n∈ℕ,P_(E_n)u=u_n.

Application. ζ(2)=(π^2)/6 et ζ(4)=(π^4)/90.

L'énoncé en LaTeX est dans la première version

Recasages pour l'année 2025 :

  • Pas de recasages pour cette année.

Versions :

  • Auteur :
  • Remarque :
    Un développement plutôt simple en pratique, manquant d'une référence pour le calcul des valeurs de zêta, mais cette partie se retient bien.

    J'ai utilisé le cours de Michel Raibaut (Université Savoie Mont Blanc) sur les suites et séries de fonctions, lui-même issu du cours de mathématiques de Denis Monasse.
  • Référence :
  • Fichier :

Références utilisées dans les versions de ce développement :

Analyse fonctionelle , Brézis (utilisée dans 37 versions au total)