Développement : Propriété de Schur dans l'espace des suites sommables

Détails/Enoncé :

Soit $(U_n)_{n\in\mathbb{N}}$ une suite d'éléments de $\ell^1$. On note $U_n=(u_{n,k})_{k\in\mathbb{N}}$ pour tout $n\in\mathbb{N}$.

Si $\lim_{n\to+\infty}\sum_{k=1}^{+\infty}b_ku_{n,k}=0$ pour toute suite $(b_k)_{k\in\mathbb{N}}\in\ell^{\infty}$ alors $\lim_{n\to+\infty}\|U_n\|_{\ell^1}=0$.

Autrement dit $(U_n)_{n\in\mathbb{N}}$ converge dans $\ell^1$ si, et seulement si $(U_n)_{n\in\mathbb{N}}$ converge faiblement dans $\ell^1$.

Cf. Cours d'analyse fonctionnelle, Daniel Li p.23

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• 230 : Séries de nombres réels et complexes. Comportement des restes ou des sommes partielles des séries numériques. Exemples.
• 208 : Espaces vectoriels normés, applications linéaires continues. Exemples.
• 234 : Fonctions et espaces de fonctions Lebesgue-intégrables.

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