Développement : Formule de la coaire, volume des boules, aire des sphères

Détails/Enoncé :

Notons $V_n(r)$ le volume de la boule euclidienne de $\mathbb{R}^n$ de rayon $r$, et $\mathscr{A}(\mathbb{S}_r)$ l'aire de la sphère euclidienne de $\mathbb{R}^n$ de rayon r. En appliquant la formule de la coaire (admise), on montre que \[\frac{d}{dr} V_n(r) = \mathscr{A}(\mathbb{S}_r),\] et on calcule directement l'aire des sphères. le développement pouvant être un peu court, on peut ajouter le calcul direct du volume des boules grâce au théorème de Fubini.

Recasages pour l'année 2025 :

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  • Auteur :
  • Remarque :
    Voir Analyse mathématique, Schwartz : le développement n'y est pas explicitement écrit, mais il y a les idées.

    Je pense que la preuve de la formule de la coaire n'est pas exigible, mais il est bon de l'avoir lue au moins une fois. De même, il faut comprendre dans les grandes lignes ce qu'est une mesure superficielle.

    CouZaert a proposé ce développement le jour de son oral (leçon 236). Il faut croire que le jury en a eu peur, car nulle mention n'en a été faite :)

    N'hésitez pas à m'écrire si vous repérez des coquilles.
  • Références :
  • Fichier :

Références utilisées dans les versions de ce développement :

Analyse_mathématique, Schwartz (utilisée dans 1 versions au total)
Calcul intégral, Candelpergher (utilisée dans 33 versions au total)