Développement : Homomorphismes de groupes et d'anneaux de $\mathbf{Z}/m\mathbf{Z}$ dans $\mathbf{Z}/n\mathbf{Z}$

Détails/Enoncé :

Pour $m$ et $n$ deux entiers,

Pour les homomorphismes de groupes,
Si $m=n=0$, alors $\mathrm{Hom}_G(\mathbf{Z},\mathbf{Z})\cong \mathbf{Z}$.
Si $m\geq 1$ et $n=0$, alors $\mathrm{Hom}_G(\mathbf{Z}/m\mathbf{Z},\mathbf{Z})\cong \{0\}$.
Si $n\geq 1$, alors $\mathrm{Hom}_G(\mathbf{Z}/m\mathbf{Z},\mathbf{Z}/n\mathbf{Z})\cong \mathbf{Z}/(m\wedge n)\mathbf{Z}$.

Pour les homomorphismes d'anneaux,
Si $m=n=0$, alors $\mathrm{Hom}_A(\mathbf{Z}/m\mathbf{Z}, \mathbf{Z})=\{\mathrm{id}\}$.
Si $m>1$ et $n=0$, alors $\mathrm{Hom}_A(\mathbf{Z}/m\mathbf{Z},\mathbf{Z}) = \emptyset$.
Si $m=0$ et $n>1$, alors $\mathrm{Hom}_A(\mathbf{Z},\mathbf{Z}/n\mathbf{Z})= \{\pi_n\}$.
Sinon, $\mathrm{Hom}_A(\mathbf{Z}/m\mathbf{Z},\mathbf{Z}/n\mathbf{Z})=\left\{\begin{align*}& \{\overline{k}\mapsto\hat{k}\}\text{ si }m|n\\ & \emptyset\text{ sinon }\end{align*}\right.$

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